Mostre que, se , então: para qualquer número real .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se , então para qualquer número real . Isso envolve conceitos de números complexos, módulo, exponenciação e logaritmos. Vamos precisar lembrar como calcular o módulo de um número complexo e como funcionam as propriedades das potências e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é um número complexo diferente de zero. Podemos representar na forma polar: , onde é o módulo de e é o argumento de .
Passo 3
Quando elevamos a uma potência , usamos a regra das potências para números complexos na forma polar:
Isso porque, ao elevar à potência , o módulo é elevado a e o argumento é multiplicado por .
Passo 4
Agora, queremos encontrar o módulo de . O módulo de um número complexo na forma é simplesmente . Portanto:
Passo 5
Vamos também expressar usando a função exponencial e o logaritmo. Sabemos que:
Para encontrar o módulo, aplicamos o módulo na expressão:
Como para um número complexo , temos:
Sabendo que , onde é o argumento de , a parte real de é . Assim:
Passo 6
Agora, vamos conectar as duas expressões que encontramos:
Portanto:
Isso confirma a igualdade que queríamos demonstrar.