Para os subespaços U e V de R^{3} nos itens abaixo, determine U \cap V e U+V. Indique qual é soma direta.
U=[(1,0,1),(0,1,1) e V=[(1,2,3)].

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3
U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}, \qquad V=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}.
As perguntas são:
  • Determinar U\cap V.
  • Determinar U+V.
  • Indicar se a soma é direta (ou seja, se U\oplus V ocorre).

Passo 2

Recordando definições (curto e prático):
  • U\cap V é o conjunto de vetores que pertencem simultaneamente a U e a V.
  • U+V é o conjunto \{u+v \mid u\in U,\\ v\in V\}; é o subespaço gerado por todos os vetores de U e V, equivalendo a \operatorname{span}(U\cup V).
  • A soma é direta (escreve-se U\oplus V) se e somente se U\cap V=\{(0,0,0)\}. Se houver um vetor não-nulo na interseção, a soma não é direta.
Vou usar estes conceitos para calcular explicitamente.

Passo 3

Para achar U\cap V\) buscamos vetores que podem ser escritos como combinação linear das geradoras de \(U\) e também como combinação das geradoras de \(V\). Ou seja, procuramos escalares \(a,b,c\in\mathbb{R}\) tais que \[a(1,0,1)+b(0,1,1)=c(1,2,3).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} a = c,\\[4pt] b = 2c,\\[4pt] a+b = 3c. \end{cases}
Agora verifiquemos consistência: substituindo a=c\] e \(b=2c na terceira equação,
a+b = c+2c=3c,
que é verdadeiro para todo c. Logo o sistema tem solução para qualquer c\in\mathbb{R}; as soluções são a=c, b=2c.]

Passo 4

Isso mostra que qualquer vetor de V, isto é qualquer vetor da forma c(1,2,3), pode ser escrito como a(1,0,1)+b(0,1,1) com a=c e b=2c. Portanto V\subseteq U. Da inclusão imediata V\subseteq U segue que
U\cap V = V = \operatorname{span}\{(1,2,3)\}.

Passo 5

Para U+V: como já vimos V\subseteq U, todo vetor de V já está em U. Então somando U com V não se obtém nada novo além de U. Logo
U+V = U = \operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.

Passo 6

Sobre ser soma direta: a condição para U\oplus V é que U\cap V=\{(0,0,0)\}. Aqui encontramos U\cap V=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}, que contém vetores não nulos. Portanto a soma não é direta.

Resposta

U\cap V=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}
U+V=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}
A soma não é direta.

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