Indique uma equação diferencial cujo integral geral é a família de curvas indicada:
  1. y=C x, C in R (retas do plano não verticais que passam pela origem);
  2. y=e^C x, C in R.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial de primeira ordem cuja solução geral seja cada uma das famílias dadas. Vamos usar o método de eliminar a constante arbitrária: derive a expressão geral em relação a x, obtenha uma relação envolvendo y, y' e C e depois elimine C.

Passo 2

Para a família y=Cx: derivando em relação a x temos dydx=C. Da própria definição y=Cx segue C=yx. Eliminando C em dydx=C chega-se a

Passo 3

Para a família y=e^Cx: derivando em relação a x obtemos dydx=Ce^Cx=Cy. Por outro lado, aplicando logaritmo natural em y=e^Cx vem ln y=Cx, de onde C=ln yx. Substituindo em dydx=Cy elimina-se C e obtém-se

Resposta

[\n\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\n]\n[\n\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \ln y\n]

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