Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem, indicando o maior intervalo onde está definida a solução:
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-
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral de quatro equações diferenciais lineares de primeira ordem, indicando também o maior intervalo onde cada solução está definida. O método principal que vamos usar é o do fator integrante, que transforma a equação na forma padrão
na qual podemos reconhecer uma derivada de produto e integrar diretamente.
na qual podemos reconhecer uma derivada de produto e integrar diretamente.
Passo 2
Reescrevendo a equação 1 na forma padrão y′+(1/x)y=1/x², o fator integrante é
Multiplicando a equação por x, obtemos
que é exatamente
Logo
definida para x>0 ou x<0 (maiores intervalos sem incluir x=0).
Passo 3
Para a equação 2 escrevemos
ou seja
O fator integrante é
Multiplicando, obtemos
Integrando por partes em
Essa solução vale para y>0 ou y<0 (y≠0).
Passo 4
Para a equação 3 escrevemos
O fator integrante é
Multiplicando, fica
Integrando,
A solução é válida para x>0 ou x<0 (x≠0).
Passo 5
Na equação 4 escrevemos
O fator integrante é
Multiplicando, reconhecemos
Assim
Essa solução vale em qualquer intervalo que não contenha x=±1, por exemplo x>1, -1<x<1 ou x<-1.
Resposta
- y=\frac{\ln|x|+C}{x}, x>0 ou x<0
- x=\frac{ey(y2-2y+2)}{y2}+\frac{C}{y2}, y>0 ou y<0
- y=-x\cos x+Cx, x>0 ou x<0
- y=(x+C)\frac{x+1}{x-1}, x>1, -1<x<1 ou x<-1