Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem, indicando o maior intervalo onde está definida a solução:
  1. x^2 y^prime+x y=1;
  2. y d x=(y e^y-2 x) d y;
  3. x y^prime-y=x^2 sen x;
  4. (x^2-1) y^prime+2 y=(x+1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral de quatro equações diferenciais lineares de primeira ordem, indicando também o maior intervalo onde cada solução está definida. O método principal que vamos usar é o do fator integrante, que transforma a equação na forma padrão
na qual podemos reconhecer uma derivada de produto e integrar diretamente.

Passo 2

Reescrevendo a equação 1 na forma padrão y′+(1/x)y=1/x², o fator integrante é
mu(x)=e^integral1x,dx=x
Multiplicando a equação por x, obtemos
x,y+y=1x,
que é exatamente ddx(x y)=1/x. Integrando,
x y=integral1x,dx=ln|x|+C
Logo
y=ln|x|+Cx,
definida para x>0 ou x<0 (maiores intervalos sem incluir x=0).

Passo 3

Para a equação 2 escrevemos
y,dx=(y e^y-2x),dy Longrightarrow dxdy=e^y-2xy,
ou seja
dxdy+2yx=e^y
O fator integrante é
mu(y)=e^integral2y,dy=y^2
Multiplicando, obtemos
ddy(y^2 x)=y^2 e^y
Integrando por partes em integral y^2 e^y,dy e^y(y^2-2y+2), logo
y^2 x=e^y(y^2-2y+2)+C Longrightarrow x=e^y(y^2-2y+2)y^2+Cy^2
Essa solução vale para y>0 ou y<0 (y≠0).

Passo 4

Para a equação 3 escrevemos
x y-y=x^2sin x Longrightarrow y-1xy=xsin x
O fator integrante é
mu(x)=e^integral(-1/x),dx=x^-1
Multiplicando, fica
ddxl(yxr)=sin x
Integrando,
yx=-cos x+C Longrightarrow y= xl(-cos x+Cr)=-xcos x+Cx
A solução é válida para x>0 ou x<0 (x≠0).

Passo 5

Na equação 4 escrevemos
(x^2-1)y+2y=(x+1)^2) Longrightarrow y+2x^2-1y=(x+1)^2x^2-1
O fator integrante é
mu(x)=e^integral2x^2-1,dx=e^ln|x-1| -ln|x+1|=x-1x+1
Multiplicando, reconhecemos
ddxl(x-1x+1yr)=1
Assim
x-1x+1y=x+C Longrightarrow y=(x+C)x+1x-1
Essa solução vale em qualquer intervalo que não contenha x=±1, por exemplo x>1, -1<x<1 ou x<-1.

Resposta

  1. y=\frac{\ln|x|+C}{x}, x>0 ou x<0
  2. x=\frac{ey(y2-2y+2)}{y2}+\frac{C}{y2}, y>0 ou y<0
  3. y=-x\cos x+Cx, x>0 ou x<0
  4. y=(x+C)\frac{x+1}{x-1}, x>1, -1<x<1 ou x<-1

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