Indique quais frases abaixo são verdadeiras.
a) Todo número real é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.
a) Todo número real é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.
Passo 1
O enunciado pede: indicar quais das frases (a) a (f) são verdadeiras. As frases são:
a) Todo número real é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.
Vou usar as informações dadas nas próprias frases; não há dados externos nem imagens.
Passo 2
Antes de julgar cada frase, vamos definir com calma os conjuntos numéricos envolvidos (isso é essencial e ajuda muito na prova). Vou explicar cada conjunto e o que significa pertencer a ele.
-
: conjunto dos números naturais. Dependendo da convenção, ou . Vou observar que, independentemente de incluir ou não o , os argumentos que usaremos não dependem dessa escolha para as frases do enunciado. -
: conjunto dos números inteiros. Isto é . -
: conjunto dos números racionais. Por definição, se e só se existem inteiros e (vou mudar o nome do denominador para evitar confusão; escrevo com e ) tais que
Ou seja, racionais são os números que podem ser escritos como fração de inteiros com denominador não nulo.
-
: conjunto dos números reais. Contém todos os racionais e também os irracionais. Os irracionais são os números reais que não são racionais; ou seja, .
Exemplos úteis:
-
é um número real que não é racional (é um exemplo clássico de número irracional). -
é inteiro e também racional (porque ). -
é natural, inteiro, racional e real.
Passo 3
Façamos uma relação de inclusão entre esses conjuntos — isto é muito útil e é frequentemente cobrado em provas:
- Cada número natural é um inteiro: se
, então . (Porque são inteiros não negativos.) - Cada inteiro é racional: se
, então mostra que . - Cada número racional é real:
por definição (os racionais são um subconjunto dos reais).
Juntando:
Essa cadeia resume bem as inclusões que vamos usar nas respostas.
Passo 4
Analisando a frase (a): “Todo número real é racional.”
- A frase afirma que
. - Mas sabemos que há números reais que não são racionais: por definição os números irracionais são exatamente esses. Um exemplo concreto é
: tem prova clássica (por contradição) de que e, claro, . - Logo, nem todo real é racional; existem reais irracionais.
(Portanto a inclusão contrária
é falsa.)
Passo 5
Analisando a frase (b): “Todo número natural é real.”
- Pela cadeia de inclusões do passo anterior temos
. - Assim, qualquer
também pertence a . - Exemplos:
e também (pode ver se quiser).
(Logo a frase é verdadeira.)
Passo 6
Analisando a frase (c): “Todo número inteiro é natural.”
- Esta frase afirma que
. - Mas isso não vale: por exemplo
porém porque naturais não têm números negativos. - Portanto nem todo inteiro é natural.
Passo 7
Analisando a frase (d): “Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.”
- Definição: um racional pode ser escrito como
com e . A frase exige algo mais forte: . - Isso falha já para números racionais negativos. Por exemplo,
é racional. Se fosse possível escrever com , então o quociente de dois naturais seria positivo (já que naturais são não negativos), mas é negativo — contradição. - Logo nem todo racional pode ser escrito com numerador e denominador ambos naturais. (Para racionais positivos isso às vezes é possível, e o zero pode ter representação
se , mas a afirmação é universal e falha por causa dos negativos.)
Passo 8
Analisando a frase (e): “Todo número irracional é real.”
- Por definição, um número irracional é um número real que não é racional; isto é, o conjunto dos irracionais é
. - Portanto, todo irracional pertence a
por definição. - Exemplo:
é irracional e, claro, real.
Passo 9
Analisando a frase (f): “Todo número natural é racional.”
- Se
então e pode ser escrito como razão de inteiros, logo . - Isso mostra
(na prática via ). - Exemplo:
é racional.
Resposta
a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
f) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
f) Verdadeira