Indique quais frases abaixo são verdadeiras.
a) Todo número real é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.

Passo 1

O enunciado pede: indicar quais das frases (a) a (f) são verdadeiras. As frases são:
a) Todo número real é racional.
b) Todo número natural é real.
c) Todo número inteiro é natural.
d) Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.
e) Todo número irracional é real.
f) Todo número natural é racional.
Vou usar as informações dadas nas próprias frases; não há dados externos nem imagens.

Passo 2

Antes de julgar cada frase, vamos definir com calma os conjuntos numéricos envolvidos (isso é essencial e ajuda muito na prova). Vou explicar cada conjunto e o que significa pertencer a ele.
  • \mathbb{N}: conjunto dos números naturais. Dependendo da convenção, \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} ou \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}. Vou observar que, independentemente de incluir ou não o 0, os argumentos que usaremos não dependem dessa escolha para as frases do enunciado.
  • \mathbb{Z}: conjunto dos números inteiros. Isto é \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}.
  • \mathbb{Q}: conjunto dos números racionais. Por definição, q\in\mathbb{Q} se e só se existem inteiros p e q (vou mudar o nome do denominador para evitar confusão; escrevo q=\dfrac{a}{b} com a,b\in\mathbb{Z} e b\neq0) tais que
q=\frac{a}{b}.
Ou seja, racionais são os números que podem ser escritos como fração de inteiros com denominador não nulo.
  • \mathbb{R}: conjunto dos números reais. Contém todos os racionais e também os irracionais. Os irracionais são os números reais que não são racionais; ou seja, \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
Exemplos úteis:
  • \sqrt{2} é um número real que não é racional (é um exemplo clássico de número irracional).
  • -1 é inteiro e também racional (porque -1=-1/1).
  • 3 é natural, inteiro, racional e real.

Passo 3

Façamos uma relação de inclusão entre esses conjuntos — isto é muito útil e é frequentemente cobrado em provas:
  • Cada número natural é um inteiro: se n\in\mathbb{N}, então n\in\mathbb{Z}. (Porque \mathbb{N} são inteiros não negativos.)
  • Cada inteiro é racional: se z\in\mathbb{Z}, então z=\dfrac{z}{1} mostra que z\in\mathbb{Q}.
  • Cada número racional é real: \mathbb{Q}\subset\mathbb{R} por definição (os racionais são um subconjunto dos reais).
Juntando:
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.
Essa cadeia resume bem as inclusões que vamos usar nas respostas.

Passo 4

Analisando a frase (a): “Todo número real é racional.”
  • A frase afirma que \mathbb{R}\subset\mathbb{Q}.
  • Mas sabemos que há números reais que não são racionais: por definição os números irracionais são exatamente esses. Um exemplo concreto é \sqrt{2}: tem prova clássica (por contradição) de que \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} e, claro, \sqrt{2}\in\mathbb{R}.
  • Logo, nem todo real é racional; existem reais irracionais.
(Portanto a inclusão contrária \mathbb{R}\subset\mathbb{Q} é falsa.)

Passo 5

Analisando a frase (b): “Todo número natural é real.”
  • Pela cadeia de inclusões do passo anterior temos \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.
  • Assim, qualquer n\in\mathbb{N} também pertence a \mathbb{R}.
  • Exemplos: 3\in\mathbb{N} e também 3\in\mathbb{R} (pode ver 3=\dfrac{3}{1} se quiser).
(Logo a frase é verdadeira.)

Passo 6

Analisando a frase (c): “Todo número inteiro é natural.”
  • Esta frase afirma que \mathbb{Z}\subset\mathbb{N}.
  • Mas isso não vale: por exemplo -1\in\mathbb{Z} porém -1\notin\mathbb{N} porque naturais não têm números negativos.
  • Portanto nem todo inteiro é natural.

Passo 7

Analisando a frase (d): “Todo número racional pode ser escrito como uma fração na qual o numerador e o denominador são naturais.”
  • Definição: um racional pode ser escrito como \dfrac{a}{b} com a,b\in\mathbb{Z} e b\neq0. A frase exige algo mais forte: a,b\in\mathbb{N}.
  • Isso falha já para números racionais negativos. Por exemplo, r=-\dfrac{1}{2} é racional. Se fosse possível escrever r=\dfrac{m}{n} com m,n\in\mathbb{N}, então o quociente de dois naturais seria positivo (já que naturais são não negativos), mas r é negativo — contradição.
  • Logo nem todo racional pode ser escrito com numerador e denominador ambos naturais. (Para racionais positivos isso às vezes é possível, e o zero pode ter representação 0/1 se 0\in\mathbb{N}, mas a afirmação é universal e falha por causa dos negativos.)

Passo 8

Analisando a frase (e): “Todo número irracional é real.”
  • Por definição, um número irracional é um número real que não é racional; isto é, o conjunto dos irracionais é \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
  • Portanto, todo irracional pertence a \mathbb{R} por definição.
  • Exemplo: \sqrt{2} é irracional e, claro, real.

Passo 9

Analisando a frase (f): “Todo número natural é racional.”
  • Se n\in\mathbb{N} então n=\dfrac{n}{1} e n pode ser escrito como razão de inteiros, logo n\in\mathbb{Q}.
  • Isso mostra \mathbb{N}\subset\mathbb{Q} (na prática via \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}).
  • Exemplo: 5=\dfrac{5}{1} é racional.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
f) Verdadeira

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