Dentre os números reais
5,3 & -2 & 10000000 &
&
\
0 &
& -8,75 &
& 125,666
indique quais são
racionais;
0 &
racionais;
Passo 1
O enunciado pede: indicar, dentre os números fornecidos, quais são racionais.
Os números dados (peguei-os do enunciado) são, em ordem:
Os números dados (peguei-os do enunciado) são, em ordem:
Observação: interpreto
como a decimal com repetição infinita do algarismo
, ou seja
. Vou usar essa interpretação ao classificar.
Passo 2
Definição e ideia prática para reconhecer números racionais:
- Um número é racional se pode ser escrito na forma
, onde e são inteiros e . - Caracterização decimal: um número é racional se, e somente se, sua expansão decimal é terminante (ex.:
) ou periódica (ex.: ). - Consequência prática:
- Inteiros são racionais (podem ser escritos como
). - Decimais terminantes são racionais (multiplica-se para eliminar a vírgula e coloca-se potência de 10 no denominador).
- Decimais periódicas são racionais (existe um truque algébrico para transformar
decimal periódica em fração). - Raiz quadrada de inteiro nem sempre é racional:
é racional apenas quando é um quadrado perfeito (por exemplo é racional, não é).
- Inteiros são racionais (podem ser escritos como
Passo 3
Converter
em fração (decinal terminante).
Multiplica-se por para eliminar a vírgula:
Multiplica-se por
Logo
é racional.
Passo 4
Classificar inteiros e zero:
-
é racional. -
é racional. -
é racional.
Passo 5
Passo 6
Converter
(decimal terminante) em fração:
Simplificando por
:
Portanto
é racional.
Passo 7
que é inteiro, logo racional.
Passo 8
Suponha que
seja racional, então existe
em forma irredutível (inteiros,
) tal que
Elevando ao quadrado:
Isto mostra que
é divisível por
, logo
é divisível por
. Escreva
. Substituindo:
logo
(e portanto
) também é divisível por
. Assim
e
têm o fator comum
, contradizendo a hipótese de que a fração estava em forma irredutível. Logo a suposição estava errada e
é irracional.
Portanto
NÃO é racional.
Passo 9
Passo 10
Converter
(decimal periódica com repetição do algarismo
, isto é
) em fração pelo método algébrico:
Seja
. Então
. Subtraindo:
Assim
Simplificando (dividindo numerador e denominador por
):
Portanto
é racional.
Passo 11
Resumo das classificações já obtidas:
- Racionais: os que consegui escrever como
com inteiros. - Irracionais:
e .
Lista explícita abaixo.