Dentre os números reais
5,3 & -2 & 10000000 & \sqrt{5} & \frac{632}{75} \
0 & \frac{\sqrt{2}}{3} & -8,75 & \sqrt{4} & 125,666 \ldots
indique quais são
racionais;

Passo 1

O enunciado pede: indicar, dentre os números fornecidos, quais são racionais.
Os números dados (peguei-os do enunciado) são, em ordem:
  • 5{,}3
  • -2
  • 10000000
  • \sqrt{5}
  • \dfrac{632}{75}
  • 0
  • \dfrac{\sqrt{2}}{3}
  • -8{,}75
  • \sqrt{4}
  • 125{,}666\ldots
Observação: interpreto 125{,}666\ldots como a decimal com repetição infinita do algarismo 6, ou seja 125{,}\overline{6}. Vou usar essa interpretação ao classificar.

Passo 2

Definição e ideia prática para reconhecer números racionais:
  • Um número é racional se pode ser escrito na forma \dfrac{p}{q}, onde p e q são inteiros e q\neq0.
  • Caracterização decimal: um número é racional se, e somente se, sua expansão decimal é terminante (ex.: 0{,}25) ou periódica (ex.: 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}).
  • Consequência prática:
    • Inteiros são racionais (podem ser escritos como \dfrac{n}{1}).
    • Decimais terminantes são racionais (multiplica-se para eliminar a vírgula e coloca-se potência de 10 no denominador).
    • Decimais periódicas são racionais (existe um truque algébrico para transformar x= decimal periódica em fração).
    • Raiz quadrada de inteiro nem sempre é racional: \sqrt{m} é racional apenas quando m é um quadrado perfeito (por exemplo \sqrt{4}=2 é racional, \sqrt{5} não é).

Passo 3

Converter 5{,}3 em fração (decinal terminante).
Multiplica-se por 10 para eliminar a vírgula:
5{,}3 = \frac{53}{10}.
Logo 5{,}3 é racional.

Passo 4

Classificar inteiros e zero:
  • -2 = \dfrac{-2}{1} é racional.
  • 10000000 = \dfrac{10000000}{1} é racional.
  • 0 = \dfrac{0}{1} é racional.

Passo 5

\dfrac{632}{75} já está na forma \dfrac{p}{q} com p,q inteiros e q\neq0, portanto é racional (não precisa simplificar para afirmar isso).

Passo 6

Converter -8{,}75 (decimal terminante) em fração:
-8{,}75 = -\frac{875}{100}.
Simplificando por 25:
-\frac{875}{100} = -\frac{35}{4}.
Portanto -8{,}75 é racional.

Passo 7

\sqrt{4}: como 4 é um quadrado perfeito ( 4=2^2),
\sqrt{4}=2,
que é inteiro, logo racional.

Passo 8

\sqrt{5}: argumento de por que é irracional (prova por contradição, clássica):
Suponha que \sqrt{5} seja racional, então existe \dfrac{a}{b} em forma irredutível (inteiros, b\neq0) tal que
\sqrt{5}=\frac{a}{b}.
Elevando ao quadrado:
5=\frac{a^2}{b^2}\quad\Rightarrow\quad 5b^2=a^2.
Isto mostra que a^2 é divisível por 5, logo a é divisível por 5. Escreva a=5k. Substituindo:
5b^2=(5k)^2=25k^2 \quad\Rightarrow\quad b^2=5k^2,
logo b^2 (e portanto b) também é divisível por 5. Assim a e b têm o fator comum 5, contradizendo a hipótese de que a fração estava em forma irredutível. Logo a suposição estava errada e \sqrt{5} é irracional.
Portanto \sqrt{5} NÃO é racional.

Passo 9

\dfrac{\sqrt{2}}{3}: use o fato de que \sqrt{2} é irracional (prova clássica por contradição semelhante à do passo anterior). Se \dfrac{\sqrt{2}}{3} fosse racional, então multiplicando por 3 obter-se-ia \sqrt{2} racional (produto de racional por racional é racional), contradizendo a irracionalidade de \sqrt{2}. Logo \dfrac{\sqrt{2}}{3} é irracional.

Passo 10

Converter 125{,}666\ldots (decimal periódica com repetição do algarismo 6, isto é 125{,}\overline{6}) em fração pelo método algébrico:
Seja x=125{,}\overline{6}. Então 10x=1256{,}\overline{6}. Subtraindo:
10x - x = 1256{,}\overline{6} - 125{,}\overline{6} \quad\Rightarrow\quad 9x = 1131.
Assim
x=\frac{1131}{9}.
Simplificando (dividindo numerador e denominador por 3):
x=\frac{377}{3}.
Portanto 125{,}666\ldots = \dfrac{377}{3} é racional.

Passo 11

Resumo das classificações já obtidas:
  • Racionais: os que consegui escrever como \dfrac{p}{q} com p,q inteiros.
  • Irracionais: \sqrt{5} e \dfrac{\sqrt{2}}{3}.
Lista explícita abaixo.

Resposta

5{,}3
-2
10000000
\dfrac{632}{75}
0
-8{,}75
\sqrt{4}
125{,}666\ldots

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