(a) Indique um inteiro par m e calcule p=m(m+1)(m+2). Verifique que 24 \mid p.
(b) Enuncie e mostre a propriedade em (a) para qualquer m \in \mathbb{Z} par.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas:
  • O enunciado tem duas partes:
    (a) pedir para indicar um inteiro par m, calcular p=m(m+1)(m+2) para esse m e verificar que 24\mid p.
    (b) enunciar e provar a mesma propriedade da parte (a) para qualquer m\in\mathbb{Z} par.
  • Informação relevante: m deve ser um inteiro par (na parte (a) escolhemos um exemplo; na parte (b) queremos uma demonstração geral).

Passo 2

Escolhendo um inteiro par simples para (a). Uma escolha natural e pequena é m=2. Agora calcular p:
p = m(m+1)(m+2) = 2\cdot 3\cdot 4 = 24.
Verificação de divisibilidade: dizer que 24\mid p significa que p é múltiplo de 24, ou seja, existe um inteiro q tal que p=24q. Aqui claramente p=24=24\cdot1, logo 24\mid p. (Parte (a) encerrada com o exemplo concreto.)

Passo 3

Explicação da estratégia para a prova geral (parte (b)). Para mostrar que 24\mid p para todo inteiro par m é suficiente mostrar duas coisas:
  1. Que 8\mid p (ou seja, p tem pelo menos três fatores 2);
  2. Que 3\mid p.
    Como 8 e 3 são coprimos ( \gcd(8,3)=1), essas duas divisibilidades juntas implicam 24=8\cdot3\mid p. Vou então provar separadamente 8\mid p e 3\mid p.

Passo 4

Provar que 3\mid p. Observação elementar: entre três inteiros consecutivos m,\;m+1,\;m+2 sempre há exatamente um múltiplo de 3. Em termos simples: os restos módulo 3 de três números consecutivos são 0,1,2 em alguma ordem, então um deles tem resto 0. Assim 3 divide o produto
p = m(m+1)(m+2).
Portanto 3\mid p.

Passo 5

Provar que 8\mid p quando m é par. Como m é par, escrevemos m=2k com k\in\mathbb{Z}. Substituindo:
p = m(m+1)(m+2) = 2k(2k+1)(2k+2).
Agrupando os fatores pares:
p = 2k(2k+2)(2k+1) = \bigl(2k\cdot(2k+2)\bigr)\cdot(2k+1).
Podemos fatorar mais:
2k\cdot(2k+2) = 4\cdot k(k+1).
Logo
p = 4\cdot k(k+1)\cdot(2k+1).
Agora, entre k e k+1 — dois inteiros consecutivos — um deles é par, portanto k(k+1) é múltiplo de 2. Assim k(k+1) contribui com pelo menos um fator 2. Juntando com o fator 4 já explícito, obtemos pelo menos 4\cdot 2 = 8 como fator de p. Em notação de divisibilidade:
8 \mid 4\cdot k(k+1)\quad\Rightarrow\quad 8\mid p.
Portanto p tem pelo menos três fatores 2, isto é, é múltiplo de 8.

Passo 6

Concluir a propriedade geral combinando os dois resultados: como mostramos 3\mid p (Passo 4) e 8\mid p (Passo 5), e como \gcd(3,8)=1, segue que 24=3\cdot 8\mid p. Em palavras: o produto de três inteiros consecutivos com m par é sempre múltiplo de 24.

Passo 7

Comentário didático final e exemplos rápidos para fixar:
  • Intuição curta: três números consecutivos dão um múltiplo de 3; se o primeiro é par, então os dois pares entre esses três (o próprio m e m+2 ou k e k+1 na fatoração) garantem pelo menos três fatores de 2. Por isso vem o 8. Juntando com o 3 24.
  • Exemplo extra: para m=6 (par), p=6\cdot7\cdot8=336. De fato 336/24=14, então 24\mid p.

Resposta

(a) m=2. p=2\cdot3\cdot4=24, logo 24\mid p.
(b) Para todo m\in\mathbb{Z} par vale 24\mid m(m+1)(m+2).

Exercícios relacionados