(a) Indique um inteiro par
e calcule
. Verifique que
.
(b) Enuncie e mostre a propriedade em (a) para qualquer
par.
(b) Enuncie e mostre a propriedade em (a) para qualquer
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas:
- O enunciado tem duas partes:
(a) pedir para indicar um inteiro par, calcular para esse e verificar que .
(b) enunciar e provar a mesma propriedade da parte (a) para qualquerpar. - Informação relevante:
deve ser um inteiro par (na parte (a) escolhemos um exemplo; na parte (b) queremos uma demonstração geral).
Passo 2
Escolhendo um inteiro par simples para (a). Uma escolha natural e pequena é
. Agora calcular
:
Verificação de divisibilidade: dizer que
significa que
é múltiplo de
, ou seja, existe um inteiro
tal que
. Aqui claramente
, logo
. (Parte (a) encerrada com o exemplo concreto.)
Passo 3
Explicação da estratégia para a prova geral (parte (b)). Para mostrar que
para todo inteiro par
é suficiente mostrar duas coisas:
- Que
(ou seja, tem pelo menos três fatores ); - Que
.
Comoe são coprimos ( ), essas duas divisibilidades juntas implicam . Vou então provar separadamente e .
Passo 4
Provar que
. Observação elementar: entre três inteiros consecutivos
sempre há exatamente um múltiplo de
. Em termos simples: os restos módulo
de três números consecutivos são
em alguma ordem, então um deles tem resto
. Assim
divide o produto
Portanto
.
Passo 5
Provar que
quando
é par. Como
é par, escrevemos
com
. Substituindo:
Agrupando os fatores pares:
Podemos fatorar mais:
Logo
Agora, entre
e
— dois inteiros consecutivos — um deles é par, portanto
é múltiplo de
. Assim
contribui com pelo menos um fator
. Juntando com o fator
já explícito, obtemos pelo menos
como fator de
. Em notação de divisibilidade:
Portanto
tem pelo menos três fatores
, isto é, é múltiplo de
.
Passo 6
Concluir a propriedade geral combinando os dois resultados: como mostramos
(Passo 4) e
(Passo 5), e como
, segue que
. Em palavras: o produto de três inteiros consecutivos com
par é sempre múltiplo de
.
Passo 7
Comentário didático final e exemplos rápidos para fixar:
- Intuição curta: três números consecutivos dão um múltiplo de
; se o primeiro é par, então os dois pares entre esses três (o próprio e ou e na fatoração) garantem pelo menos três fatores de . Por isso vem o . Juntando com o dá . - Exemplo extra: para
(par), . De fato , então .
Resposta
(a)
.
, logo
.
(b) Para todo par vale
.
(b) Para todo