Indique quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita:
Passo 1
O enunciado pede para indicar quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita. O número fornecido é:
Informações dadas: numerador
e denominador
. A resolução começa a partir disso.
Passo 2
Regra-chave (explicada devagarinho): para uma fração
escrita em termos irreducíveis (ou seja, com
), a representação decimal é finita se, e somente se, o denominador
tem apenas os fatores primos
e/ou
.
Por que isso acontece? Porque o sistema decimal usa a base
, e
Uma fração
tem expansão decimal finita exatamente quando existe um inteiro
tal que multiplicando tanto o numerador quanto o denominador por
transforma a fração em um inteiro dividido por
; em outras palavras, quando
divide
para algum
. Mas os únicos primos que dividem
são
e
, logo
só pode ter
e
como fatores primos. Formalmente:
Um exemplo concreto para fixar a ideia:
-
: aqui , só tem fator , portanto a decimal é finita: . -
: o denominador tem fator primo (que não é nem ), portanto a decimal é periódica: .
Passo 3
Vamos aplicar a regra ao caso
. Primeiro fatoramos o denominador:
Passo 4
Observação importante: a fração
já está em termos irreducíveis pois
. Pelo fatoramento acima, o denominador contém o fator primo
, que não é
nem
. Pelo critério do Passo 2, isso impede que o denominador divida qualquer potência de
, portanto a representação decimal de
não pode ser finita — ela é periódica (infinita repetitiva).
Também é possível ver isso na prática: tentar eliminar o
multiplicando numerador e denominador por algum inteiro não faz o
sumir (continua um fator do denominador), então nunca se conseguirá transformar o denominador em
.
Passo 5
Resumo didático e um empurrãozinho de ânimo: sempre que for olhar uma fração na prova, simplifica-a e fatoriza o denominador. Se aparecer só
e
, vai ser decimal finita; se aparecer qualquer outro primo (como
), vai ser decimal periódica. Você consegue — é só factorar e olhar os primos!