Indique quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita:
\frac{1}{220}

Passo 1

O enunciado pede para indicar quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita. O número fornecido é:
\frac{1}{220}.
Informações dadas: numerador 1 e denominador 220. A resolução começa a partir disso.

Passo 2

Regra-chave (explicada devagarinho): para uma fração \dfrac{p}{q} escrita em termos irreducíveis (ou seja, com \gcd(p,q)=1), a representação decimal é finita se, e somente se, o denominador q tem apenas os fatores primos 2 e/ou 5.
Por que isso acontece? Porque o sistema decimal usa a base 10, e
10 = 2\cdot 5.
Uma fração \dfrac{p}{q} tem expansão decimal finita exatamente quando existe um inteiro k tal que multiplicando tanto o numerador quanto o denominador por 10^k transforma a fração em um inteiro dividido por 10^k; em outras palavras, quando q divide 10^k para algum k. Mas os únicos primos que dividem 10^k são 2 e 5, logo q só pode ter 2 e 5 como fatores primos. Formalmente:
\Bigl(\exists k\in\mathbb{N}: q\mid 10^k\Bigr)\Longleftrightarrow q=2^{a}5^{b}\\ \text{para alguns }a,b\in\mathbb{N}_0.
Um exemplo concreto para fixar a ideia:
  • \dfrac{1}{25}: aqui 25=5^2, só tem fator 5, portanto a decimal é finita: \dfrac{1}{25}=0,04.
  • \dfrac{1}{3}: o denominador tem fator primo 3 (que não é 2 nem 5), portanto a decimal é periódica: \dfrac{1}{3}=0,\overline{3}.

Passo 3

Vamos aplicar a regra ao caso \dfrac{1}{220}. Primeiro fatoramos o denominador:
220 = 22\cdot 10 = (2\cdot 11)\cdot(2\cdot 5)=2^2\cdot 5\cdot 11.

Passo 4

Observação importante: a fração \dfrac{1}{220} já está em termos irreducíveis pois \gcd(1,220)=1. Pelo fatoramento acima, o denominador contém o fator primo 11, que não é 2 nem 5. Pelo critério do Passo 2, isso impede que o denominador divida qualquer potência de 10, portanto a representação decimal de \dfrac{1}{220} não pode ser finita — ela é periódica (infinita repetitiva).
Também é possível ver isso na prática: tentar eliminar o 11 multiplicando numerador e denominador por algum inteiro não faz o 11 sumir (continua um fator do denominador), então nunca se conseguirá transformar o denominador em 10^k.

Passo 5

Resumo didático e um empurrãozinho de ânimo: sempre que for olhar uma fração na prova, simplifica-a e fatoriza o denominador. Se aparecer só 2 e 5, vai ser decimal finita; se aparecer qualquer outro primo (como 3,7,11,\dots), vai ser decimal periódica. Você consegue — é só factorar e olhar os primos!

Resposta

\dfrac{1}{220} não possui representação decimal finita.

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