Indique quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita:
Passo 1
O enunciado dá a única fração
e pede para indicar se ela possui representação decimal finita.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Passo 2
Regra-chave (explicação didática): uma fração racional
escrita na forma irredutível (ou seja, com
) tem representação decimal finita se, e somente se, todos os fatores primos de
são
ou
.
Por que isso? Porque um decimal finito é da forma para algum inteiro
e
. Assim, se
é finita existe
tal que
divide
. Logo, os primos que dividem
só podem ser os que dividem
, ou seja
e
. Inversamente, se
só tem fatores
e
, então existe
com
e a fração pode ser escrita com denominador
, dando decimal finito.
Por que isso? Porque um decimal finito é da forma
Passo 3
Primeiro passo prático: simplificar a fração, isto é, calcular
para ver se já está irredutível. Uso o algoritmo de Euclides:
O último resto não nulo é
, portanto
Logo a fração
já está irredutível.
Passo 4
Agora fatoro o denominador
.
Os fatores primos de
são
,
e
.
Passo 5
Aplicando a regra do Passo 2: como o denominador, na forma irredutível, possui os fatores primos
e
(além de
), ele contém primos diferentes de
e
. Portanto não existe
tal que
, e a fração não pode ser escrita com denominador potência de
. Conclusão: a representação decimal é não finita (periódica).
Resposta
A fração
não possui representação decimal finita.