Indique quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita:
\frac{3041}{238}

Passo 1

O enunciado dá a única fração \dfrac{3041}{238} e pede para indicar se ela possui representação decimal finita.
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: \,3041\,.
  • Denominador: \,238\,.

Passo 2

Regra-chave (explicação didática): uma fração racional \dfrac{a}{b} escrita na forma irredutível (ou seja, com \gcd(a,b)=1) tem representação decimal finita se, e somente se, todos os fatores primos de b são 2 ou 5.
Por que isso? Porque um decimal finito é da forma \dfrac{N}{10^{k}} para algum inteiro N e k. Assim, se \dfrac{a}{b} é finita existe k tal que b divide 10^{k}. Logo, os primos que dividem b só podem ser os que dividem 10, ou seja 2 e 5. Inversamente, se b só tem fatores 2 e 5, então existe k com b\mid 10^{k} e a fração pode ser escrita com denominador 10^{k}, dando decimal finito.

Passo 3

Primeiro passo prático: simplificar a fração, isto é, calcular \gcd(3041,238) para ver se já está irredutível. Uso o algoritmo de Euclides:
3041 = 238\cdot 12 + 185
238 = 185\cdot 1 + 53
185 = 53\cdot 3 + 26
53 = 26\cdot 2 + 1
26 = 1\cdot 26 + 0
O último resto não nulo é 1, portanto
\gcd(3041,238)=1.
Logo a fração \dfrac{3041}{238} já está irredutível.

Passo 4

Agora fatoro o denominador \,238.
238 = 2 \cdot 119 = 2 \cdot 7 \cdot 17.
Os fatores primos de 238 são 2, 7 e 17.

Passo 5

Aplicando a regra do Passo 2: como o denominador, na forma irredutível, possui os fatores primos 7 e 17 (além de 2), ele contém primos diferentes de 2 e 5. Portanto não existe k tal que 238\mid 10^{k}, e a fração não pode ser escrita com denominador potência de 10. Conclusão: a representação decimal é não finita (periódica).

Resposta

A fração \dfrac{3041}{238} não possui representação decimal finita.

Exercícios relacionados