Indique quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita:
\frac{711}{60}

Passo 1

O enunciado pede para indicar quais dos números racionais abaixo têm representação decimal finita. O número dado é:
\displaystyle \frac{711}{60}.

Passo 2

Regra prática (explicada passo a passo): uma fração racional \displaystyle \frac{p}{q}, escrita em termos primos e na forma irredutível (ou seja, com \gcd(p,q)=1), tem representação decimal finita se, e somente se, o denominador q tiver como fatores primos apenas 2 e/ou 5.
Por que isso é verdade? Vou explicar devagarinho:
  • Uma representação decimal finita com k casas decimais significa que existe um inteiro m tal que
\frac{p}{q}=\frac{m}{10^{k}}.
  • Isso implica que q divide 10^{k}. Como 10=2\cdot5, qualquer divisor de 10^{k} só pode ter fatores primos 2 e 5.
  • Reciprocamente, se q=2^{a}5^{b} então, tomando k=\max(a,b), tem-se q dividindo 10^{k}, logo \frac{p}{q} pode ser escrito com k casas decimais. Assim a condição é necessária e suficiente.

Passo 3

Primeiro passo prático: reduzir \displaystyle \frac{711}{60} à forma irredutível, calculando \gcd(711,60) pelo algoritmo de Euclides.
  • 711 = 60\cdot11 + 51.
  • 60 = 51\cdot1 + 9.
  • 51 = 9\cdot5 + 6.
  • 9 = 6\cdot1 + 3.
  • 6 = 3\cdot2 + 0.
Portanto \gcd(711,60)=3. Dividindo numerador e denominador por 3 obtemos a forma reduzida:
\frac{711}{60}=\frac{237}{20}.

Passo 4

Agora fatorar o denominador reduzido:
20=2^{2}\cdot5.
Os únicos fatores primos de 20 são 2 e 5. Pelo critério do Passo 2, isso garante que \displaystyle \frac{237}{20} (portanto \displaystyle \frac{711}{60}) tem representação decimal finita.

Passo 5

Vamos obter a forma decimal de forma direta e prática:
\frac{237}{20}=\frac{237\cdot5}{20\cdot5}=\frac{1185}{100}=11,85.
(Usei a técnica de multiplicar por 5 para transformar o denominador em 100, que corresponde a duas casas decimais.)

Resposta

A fração \displaystyle \frac{711}{60} tem representação decimal finita: \displaystyle \frac{711}{60}=11,85.

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