Indique quais dos números racionais abaixo possuem representação decimal finita:
Passo 1
O enunciado pede para indicar quais dos números racionais abaixo têm representação decimal finita. O número dado é:
.
Passo 2
Regra prática (explicada passo a passo): uma fração racional
, escrita em termos primos e na forma irredutível (ou seja, com
), tem representação decimal finita se, e somente se, o denominador
tiver como fatores primos apenas
e/ou
.
Por que isso é verdade? Vou explicar devagarinho:
- Uma representação decimal finita com
casas decimais significa que existe um inteiro tal que
- Isso implica que
divide . Como , qualquer divisor de só pode ter fatores primos e . - Reciprocamente, se
então, tomando , tem-se dividindo , logo pode ser escrito com casas decimais. Assim a condição é necessária e suficiente.
Passo 3
Primeiro passo prático: reduzir
à forma irredutível, calculando
pelo algoritmo de Euclides.
-
. -
. -
. -
. -
.
Portanto
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos a forma reduzida:
Passo 4
Agora fatorar o denominador reduzido:
Os únicos fatores primos de
são
e
. Pelo critério do Passo 2, isso garante que
(portanto
) tem representação decimal finita.
Passo 5
Vamos obter a forma decimal de forma direta e prática:
(Usei a técnica de multiplicar por
para transformar o denominador em
, que corresponde a duas casas decimais.)
Resposta
A fração
tem representação decimal finita:
.