Indique se as seguintes asserções estão CERTAS ou ERRADAS.
Se S é uma reta qualquer em \mathbb{R}^{3}, então S^{\perp} é um plano em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado diz que S é uma reta (subespaço de dimensão 1) em \mathbb{R}^3 e pergunta se o complemento ortogonal S^\perp é um plano. Vamos usar a relação entre dimensões de um subespaço e seu complemento ortogonal.

Passo 2

Pela teoria de espaços vetoriais com produto interno, temos
\dim(S) + \dim(S^\perp) = \dim(\mathbb{R}^3).
Como \dim(S)=1, segue \dim(S^\perp)=3-1=2. Qualquer subespaço de \mathbb{R}^3 de dimensão 2 é um plano que passa na origem. Logo, S^\perp é um plano.

Resposta

Certa

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