Prove as afirmações verdadeiras e, quando falsa, dê um contra-exemplo.
Se A é uma matriz nilpotente então \operatorname{det}(\mathrm{A})=0.

Passo 1

O enunciado afirma que, se uma matriz A\in M_n(\mathbb{K}) é nilpotente (isto é, existe algum inteiro k\ge1 tal que A^k=0), então \det(A)=0. Para resolver isso, vamos usar a propriedade fundamental de determinantes:
  1. O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes.
  2. A matriz nula 0 tem determinante zero.

Passo 2

Suponha que A seja nilpotente, ou seja, que exista um k\in\mathbb{N} tal que
A^k = 0.
Aplicando determinante em ambos os lados e usando a multiplicatividade do determinante, obtemos
\det\bigl(A^k\bigr) \;=\; \det(A)^k \quad\text{e ao mesmo tempo}\quad \det\bigl(A^k\bigr) = \det(0) = 0.

Passo 3

Como \det(A)^k = 0 e k\ge1, segue necessariamente que
\det(A) = 0.
Não há outra possibilidade para um escalar cuja potência é zero senão ele próprio ser zero.

Resposta

A afirmação é verdadeira: toda matriz nilpotente tem determinante igual a zero.

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