Prove as afirmações verdadeiras e, quando falsa, dê um contra-exemplo.
Se A é uma matriz nilpotente então
.
Se A é uma matriz nilpotente então
Passo 1
O enunciado afirma que, se uma matriz
é nilpotente (isto é, existe algum inteiro
tal que
), então
. Para resolver isso, vamos usar a propriedade fundamental de determinantes:
- O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes.
- A matriz nula
tem determinante zero.
Passo 2
Suponha que
seja nilpotente, ou seja, que exista um
tal que
Aplicando determinante em ambos os lados e usando a multiplicatividade do determinante, obtemos
Passo 3
Como
e
, segue necessariamente que
Não há outra possibilidade para um escalar cuja potência é zero senão ele próprio ser zero.
Resposta
A afirmação é verdadeira: toda matriz nilpotente tem determinante igual a zero.