Indique se as seguintes asserções estão CERTAS ou ERRADAS.
Se u e v são vetores não nulos em um espaço vetorial V, então [u, v]=[u] \oplus[v].

Passo 1

O enunciado afirma que, para vetores não nulos u,v em um espaço vetorial V, o subespaço gerado por ambos satisfaz
[u,v] = [u]\oplus[v].
O conteúdo aqui é teoria de subespaços, soma direta e condição de interseção trivial.

Passo 2

Por definição, a soma direta [u]\oplus[v] é a soma de subespaços [u]+[v] quando
[u]\cap[v]=\{0\}.
De fato sempre vale
[u]+[v]=[u,v],
pois a soma de subespaços é o span de seus geradores. Logo a igualdade [u,v]=[u]\oplus[v] é equivalente a exigir [u]\cap[v]=\{0\}, ou seja que u e v sejam linearmente independentes. Contudo, se v=\lambda u para algum escalar \lambda\neq0, então [v]=[u] e
[u]\cap[v]=[u]\neq\{0\},
de modo que a soma não é direta. Portanto a asserção falha sempre que u e v forem dependentes.

Resposta

ERRADA.

Exercícios relacionados