Sejam V um espaço vetorial munido de um produto interno, S um subespaço de V e u, v \in V tais que v \in S^{\perp} e u-v \in S. Pode-se afirmar corretamente que:
a) \langle v, u\rangle=0;
b) u \in S^{\perp};
c) u=0;
d) \langle u, v\rangle=\|v\|^{2};
e) \langle u, v\rangle=\|u\|.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço com produto interno, S\subset V é um subespaço, e temos vetores u,v\in V tais que
  1. v\in S^{\perp}, ou seja \langle v,s\rangle=0 para todo s\in S.
  2. u - v\in S.
    Queremos descobrir qual das afirmações sobre \langle u,v\rangle, \|v\|, \|u\| e pertencimento a S^\perp é correta.

Passo 2

Como u-v\in S e v\in S^{\perp}, pela definição de ortogonalidade temos
\langle v,\;u - v\rangle \;=\;0.

Passo 3

Expandindo a parte esquerda,
\langle v,\;u - v\rangle =\langle v,u\rangle \;-\;\langle v,v\rangle =0 \quad\Longrightarrow\quad \langle v,u\rangle = \langle v,v\rangle = \|v\|^{2}.

Resposta

d) \langle u, v\rangle = \|v\|^{2}.

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