(Espaço vetorial com operações não usuais - Steinbruch, p.p. 22-23) O conjunto
com as operações de adição “
” e multiplicação por escalar “
” não-usuais:
é um espaço vetorial sobre
. Responda:
a) Qual é o elemento neutro da adição
?
b) Dado um vetor
, qual é o seu simétrico em relação a adição
?
c) O conjunto
é subespaço vetorial de
? Justifique.
d) Determine uma base e a dimensão de
.
a) Qual é o elemento neutro da adição
b) Dado um vetor
c) O conjunto
d) Determine uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado introduz o conjunto
com as operações
e pede:
a) o elemento neutro de ,
b) o simétrico de em
,
c) mostrar que
a) o elemento neutro de
b) o simétrico de
c) mostrar que
(para
fixo) é subespaço,
d) uma base e a dimensão de .
Vamos usar a ideia de passar para coordenadas logarítmicas, mostrando que é isomorfo a
.
d) uma base e a dimensão de
Vamos usar a ideia de passar para coordenadas logarítmicas, mostrando que
Passo 2
Para encontrar o elemento neutro
de
exigimos
para todo
. Logo
e
dão
e
.
Portanto o neutro de é
Portanto o neutro de
Passo 3
Para o simétrico de
precisamos
. Se
, então
implica
e
.
Assim o inverso aditivo de é
Assim o inverso aditivo de
Passo 4
Vamos verificar que
(com
fixo) é subespaço de
.
- Neutro:
. - Fechamento em
: para e temos
- Fechamento em escalar: para
Logo
é subespaço vetorial.
Passo 5
Definimos o mapa
Verifica‐se facilmente que
e
Assim
é um isomorfismo de espaços vetoriais, de modo que
.
Para obter uma base de basta puxar a base padrão de
. Seja
e
. Então
Para obter uma base de
Logo
é uma base de
.
Resposta
a) O neutro de
é
.
b) O inverso aditivo de é
.
c) Para fixo,
é subespaço, pois contém
e é fechado em
e em
.
d) e uma base é
.
b) O inverso aditivo de
c) Para
d)