(Espaço vetorial com operações não usuais - Steinbruch, p.p. 22-23) O conjunto V=\{(x, y) \mid x>0, y>0\} com as operações de adição “ \oplus” e multiplicação por escalar “ \odot” não-usuais:
\begin{aligned} \left(x_{1}, y_{1}\right) \oplus\left(x_{2}, y_{2}\right) & =\left(x_{1} x_{2}, y_{1} y_{2}\right) \\\ \alpha \odot(x, y) & =\left(x^{\alpha}, y^{\alpha}\right) \end{aligned}
é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Responda:
a) Qual é o elemento neutro da adição \oplus \mathrm{em} V ?
b) Dado um vetor v=\left(x_{0}, y_{0}\right) \in V, qual é o seu simétrico em relação a adição \oplus ?
c) O conjunto W=\left\{\left(x, x^{p}\right) \mid x>0, p \in \mathbb{R}\right\} é subespaço vetorial de V ? Justifique.
d) Determine uma base e a dimensão de V.

Passo 1

O enunciado introduz o conjunto
V=\{(x,y)\mid x>0,\;y>0\}
com as operações
(x_{1},y_{1})\oplus(x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2},\,y_{1}y_{2}) \quad\text{e}\quad \alpha\odot(x,y)=(x^{\alpha},\,y^{\alpha})
e pede:
a) o elemento neutro de \oplus,
b) o simétrico de (x_{0},y_{0}) em \oplus,
c) mostrar que
W=\{(x,x^{p})\mid x>0\}
(para p\in\mathbb{R} fixo) é subespaço,
d) uma base e a dimensão de V.
Vamos usar a ideia de passar para coordenadas logarítmicas, mostrando que V é isomorfo a \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Para encontrar o elemento neutro e=(e_{x},e_{y}) de \oplus exigimos
(x,y)\oplus(e_{x},e_{y})=(x\,e_{x},\,y\,e_{y})=(x,y)
para todo (x,y). Logo x\,e_{x}=x e y\,e_{y}=y dão e_{x}=1 e e_{y}=1.
Portanto o neutro de \oplus é
(1,1).

Passo 3

Para o simétrico de v=(x_{0},y_{0}) precisamos v\oplus v'=(1,1). Se v'=(x',y'), então
(x_{0}x',\,y_{0}y')=(1,1)
implica x'=1/x_{0} e y'=1/y_{0}.
Assim o inverso aditivo de \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) é
\bigl(x_{0}^{-1},\,y_{0}^{-1}\bigr).

Passo 4

Vamos verificar que
W=\{(x,x^{p})\mid x>0\}
(com p fixo) é subespaço de V.
  1. Neutro: (1,1^{p})=(1,1)\in W.
  2. Fechamento em \oplus: para u=(x,x^{p}) e v=(y,y^{p}) temos
u\oplus v=(x\,y,\;x^{p}y^{p}) =(xy,\;(xy)^{p})\in W.
  1. Fechamento em escalar: para \alpha\in\mathbb{R}
\alpha\odot(x,x^{p})=(x^{\alpha},\;x^{\alpha p}) =(x^{\alpha},\;(x^{\alpha})^{p})\in W.
Logo W é subespaço vetorial.

Passo 5

Definimos o mapa
\varphi\colon V\to\mathbb{R}^{2}, \quad \varphi(x,y)=(\ln x,\ln y).
Verifica‐se facilmente que
\varphi\bigl((x_{1},y_{1})\oplus(x_{2},y_{2})\bigr) =(\ln(x_{1}x_{2}),\ln(y_{1}y_{2})) =(\ln x_{1}+\ln x_{2},\,\ln y_{1}+\ln y_{2}) =\varphi(x_{1},y_{1})+\varphi(x_{2},y_{2}),
e
\varphi\bigl(\alpha\odot(x,y)\bigr) =(\ln(x^{\alpha}),\ln(y^{\alpha})) =(\alpha\ln x,\alpha\ln y) =\alpha\,\varphi(x,y).
Assim \varphi é um isomorfismo de espaços vetoriais, de modo que \dim V=\dim\mathbb{R}^{2}=2.
Para obter uma base de V basta puxar a base padrão de \mathbb{R}^{2}. Seja \mathbf{e}_{1}=(1,0) e \mathbf{e}_{2}=(0,1). Então
\varphi^{-1}(\mathbf{e}_{1})=(e^{1},e^{0})=(e,1), \quad \varphi^{-1}(\mathbf{e}_{2})=(e^{0},e^{1})=(1,e).
Logo \{(e,1),\,(1,e)\} é uma base de V.

Resposta

a) O neutro de \oplus é (1,1).
b) O inverso aditivo de \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) é \bigl(x_{0}^{-1},y_{0}^{-1}\bigr).
c) Para p fixo, W=\{(x,x^{p})\} é subespaço, pois contém (1,1) e é fechado em \oplus e em \odot.
d) \dim V=2 e uma base é \{(e,1),\,(1,e)\}.

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