Indique se o sinal é periódico, justificando. Caso seja periódico, determine o período fundamental.
x_{6}(t)=\operatorname{sen}(5 t / 2)+3 \cos (6 t / 5)+3 \operatorname{sen}\left(t / 7+30^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Indicar se o sinal é periódico, justificando.
  • Caso seja periódico, determinar o período fundamental.
O sinal dado é
x_{6}(t)=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{5t}{2}\right)+3\cos\!\left(\tfrac{6t}{5}\right)+3\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{t}{7}+30^\circ\right).
Informações explícitas fornecidas no enunciado:
  • Há três termos seno/cosseno somados.
  • O terceiro termo tem um deslocamento de fase de 30^\circ (ou seja, \tfrac{\pi}{6} radianos).
  • Não foi dada qualquer outra informação adicional.

Passo 2

Conceitos básicos (aula rápida e prática):
  • Uma única senoide \sin(\omega t+\varphi) ou \cos(\omega t+\varphi) é sempre periódica. A sua frequência angular é \omega (em rad/s) e o seu período é dado por
T=\frac{2\pi}{\omega},
onde T é o menor intervalo positivo tal que \sin(\omega(t+T)+\varphi)=\sin(\omega t+\varphi) para todo t.
  • Amplitude e fase ( 3, 30^\circ, etc.) não alteram o período: só \omega importa para o período.
  • A soma de senoides de frequências angulares \omega_1,\omega_2,\dots é periódica se e somente se existir um T>0 tal que
\omega_i T = 2\pi k_i\quad\text{para inteiros }k_i\text{ e para todo }i.
Isto é equivalente a exigir que todas as razões \omega_i/\omega_j sejam números racionais (frações de inteiros). Se essa condição for satisfeita, o período fundamental é o menor T>0 que cumpre as igualdades acima.
Agora vamos aplicar isso ao problema.

Passo 3

Identificar as frequências angulares ( \omega) dos três termos (a fase do terceiro termo vou converter para radianos apenas por completude, mas como dito a fase não muda o período):
  • Primeiro termo: \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{5t}{2}\right). Aqui
\omega_1=\tfrac{5}{2}.
  • Segundo termo: 3\cos\!\left(\tfrac{6t}{5}\right). Aqui
\omega_2=\tfrac{6}{5}.
  • Terceiro termo: 3\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{t}{7}+30^\circ\right). Aqui
\omega_3=\tfrac{1}{7}, \qquad 30^\circ=\tfrac{\pi}{6}\\ \text{rad}.
(Observação: escrevi a fase em radianos só para ficar claro, mas ela não entra no cálculo do período.)

Passo 4

Calcular os períodos individuais usando T_i=2\pi/\omega_i:
  • Para \omega_1=\tfrac{5}{2}:
T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\frac{2\pi}{5/2}=\frac{4\pi}{5}.
  • Para \omega_2=\tfrac{6}{5}:
T_2=\frac{2\pi}{\omega_2}=\frac{2\pi}{6/5}=\frac{10\pi}{6}=\frac{5\pi}{3}.
  • Para \omega_3=\tfrac{1}{7}:
T_3=\frac{2\pi}{\omega_3}=\frac{2\pi}{1/7}=14\pi.
Então os períodos individuais são \tfrac{4\pi}{5}, \tfrac{5\pi}{3} e 14\pi.

Passo 5

Verificar se as razões das frequências são racionais (condição de periodicidade da soma):
  • \dfrac{\omega_1}{\omega_2}=\dfrac{5/2}{6/5}=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{25}{12} (racional).
  • \dfrac{\omega_1}{\omega_3}=\dfrac{5/2}{1/7}=\dfrac{5}{2}\cdot 7=\dfrac{35}{2} (racional).
  • \dfrac{\omega_2}{\omega_3}=\dfrac{6/5}{1/7}=\dfrac{6}{5}\cdot 7=\dfrac{42}{5} (racional).
Como todas as razões são racionais, a soma é periódica. Agora precisamos achar o menor T>0 que é múltiplo de todos os T_i (o período fundamental).

Passo 6

Mínimo múltiplo comum dos períodos (metodologia clara e prática):
  • Escreva cada T_i como \pi vezes uma fração em inteiros:
T_1=\frac{4\pi}{5}=\pi\cdot\frac{4}{5},\qquad T_2=\frac{5\pi}{3}=\pi\cdot\frac{5}{3},\qquad T_3=14\pi=\pi\cdot\frac{14}{1}.
  • Queremos o menor T=\pi X tal que T/T_i seja inteiro para todo i. Isto equivale a exigir que X seja múltiplo de cada numerador quando cada fração \frac{p_i}{q_i} estiver reduzida à forma irredutível \frac{p_i'}{q_i'}. Reduzindo:
    • \frac{4}{5} já está irredutível: p_1'=4.
    • \frac{5}{3} já está irredutível: p_2'=5.
    • \frac{14}{1} já está irredutível: p_3'=14.
  • Logo precisamos do menor X que seja múltiplo de 4,5,14, isto é
X=\operatorname{lcm}(4,5,14).
Calcule a \operatorname{lcm}:
  • 4=2^2, 5=5, 14=2\cdot7. Então
\operatorname{lcm}(4,5,14)=2^2\cdot5\cdot7=4\cdot35=140.
  • Portanto o menor T com a propriedade desejada é
T_0=\pi\cdot X=\pi\cdot 140=140\pi.
Verificação rápida (mostrando que é consistente):
\frac{T_0}{T_1}=\frac{140\pi}{4\pi/5}=140\cdot\frac{5}{4}=175\in\mathbb{Z},
\frac{T_0}{T_2}=\frac{140\pi}{5\pi/3}=140\cdot\frac{3}{5}=84\in\mathbb{Z},
\frac{T_0}{T_3}=\frac{140\pi}{14\pi}=10\in\mathbb{Z}.
Portanto T_0=140\pi é um período comum; como foi obtido por \operatorname{lcm} dos valores reduzidos, é o período fundamental (o menor positivo).

Passo 7

Resumo final e motivação intuitiva (rápida e animadora):
  • Cada senoide repete a cada T_i. Para que a soma seja periódica, é preciso que exista um instante em que todas as três senoides já tenham completado um número inteiro de ciclos. Encontramos o menor desses instantes ao calcular o MMC (lcm) dos “numeradores” das frações que multiplicam \pi nos períodos individuais. O resultado final é um período grande ( 140\pi), mas é o menor possível.
Força aí — a ideia central que você precisa lembrar para a prova: transformar as frequências em períodos, verificar se as razões são racionais e então usar MMC/LCM para achar o período fundamental.

Resposta

Sim, é periódico.
T_{0}=140\pi

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