Indique se o sinal é periódico, justificando. Caso seja periódico, determine o período fundamental.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Indicar se o sinal é periódico, justificando.
- Caso seja periódico, determinar o período fundamental.
O sinal dado é
Informações explícitas fornecidas no enunciado:
- Há três termos seno/cosseno somados.
- O terceiro termo tem um deslocamento de fase de
(ou seja, radianos). - Não foi dada qualquer outra informação adicional.
Passo 2
Conceitos básicos (aula rápida e prática):
- Uma única senoide
ou é sempre periódica. A sua frequência angular é (em rad/s) e o seu período é dado por
onde
é o menor intervalo positivo tal que
para todo
.
- Amplitude e fase (
, , etc.) não alteram o período: só importa para o período. - A soma de senoides de frequências angulares
é periódica se e somente se existir um tal que
Isto é equivalente a exigir que todas as razões
sejam números racionais (frações de inteiros). Se essa condição for satisfeita, o período fundamental é o menor
que cumpre as igualdades acima.
Agora vamos aplicar isso ao problema.
Passo 3
Identificar as frequências angulares (
) dos três termos (a fase do terceiro termo vou converter para radianos apenas por completude, mas como dito a fase não muda o período):
- Primeiro termo:
. Aqui
- Segundo termo:
. Aqui
- Terceiro termo:
. Aqui
(Observação: escrevi a fase em radianos só para ficar claro, mas ela não entra no cálculo do período.)
Passo 4
Calcular os períodos individuais usando
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então os períodos individuais são
,
e
.
Passo 5
Verificar se as razões das frequências são racionais (condição de periodicidade da soma):
-
(racional). -
(racional). -
(racional).
Como todas as razões são racionais, a soma é periódica. Agora precisamos achar o menor
que é múltiplo de todos os
(o período fundamental).
Passo 6
Mínimo múltiplo comum dos períodos (metodologia clara e prática):
- Escreva cada
como vezes uma fração em inteiros:
- Queremos o menor
tal que seja inteiro para todo . Isto equivale a exigir que seja múltiplo de cada numerador quando cada fração estiver reduzida à forma irredutível . Reduzindo: -
já está irredutível: . -
já está irredutível: . -
já está irredutível: .
-
- Logo precisamos do menor
que seja múltiplo de , isto é
Calcule a
:
-
, , . Então
- Portanto o menor
com a propriedade desejada é
Verificação rápida (mostrando que é consistente):
Portanto
é um período comum; como foi obtido por
dos valores reduzidos, é o período fundamental (o menor positivo).
Passo 7
Resumo final e motivação intuitiva (rápida e animadora):
- Cada senoide repete a cada
. Para que a soma seja periódica, é preciso que exista um instante em que todas as três senoides já tenham completado um número inteiro de ciclos. Encontramos o menor desses instantes ao calcular o MMC (lcm) dos “numeradores” das frações que multiplicam nos períodos individuais. O resultado final é um período grande ( ), mas é o menor possível.
Força aí — a ideia central que você precisa lembrar para a prova: transformar as frequências em períodos, verificar se as razões são racionais e então usar MMC/LCM para achar o período fundamental.
Resposta
Sim, é periódico.