Indique se o sinal é periódico, justificando. Caso seja periódico, determine o período fundamental.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede duas coisas:
- indicar se o sinal é periódico (sim/não), justificando;
- caso seja periódico, determinar o período fundamental.
Informações explícitas que temos do enunciado:
- o primeiro termo é
, ou seja, uma cossenoidal com argumento ; - o segundo termo é
, ou seja, uma senoide com argumento .
Passo 2
Definição e ideia chave (explicada passo a passo, sem pular etapas).
Um sinal
é periódico se existe um
tal que
O menor
que satisfaz isso chama-se período fundamental.
Para uma senoide ou cossenoide da forma
ou
, onde
é a frequência angular (em rad/s), o período é obtido exigindo-se
Essas igualdades ocorrem sempre que
for um múltiplo inteiro de
, isto é, quando
O menor
que satisfaz isso (com
) é
Portanto, regra prática: para uma termo
ou
o período fundamental é
.
Passo 3
Calcular os períodos dos termos individuais usando a fórmula
.
Para o primeiro termo
:
- a frequência angular é
. - seu período é
Para o segundo termo
:
- a frequência angular é
. - seu período é
Então os períodos individuais são
e
.
Passo 4
Critério de periodicidade da soma de sinais periódicos (explicação didática).
Se
tem período
e
tem período
, então a soma
será periódica se existir um
tal que
seja múltiplo inteiro de ambos
e
; isto é, se existirem inteiros positivos
tais que
Em outras palavras, a soma é periódica quando a razão
é racional. O período fundamental da soma será o menor
que satisfaz essa condição — na prática, o mínimo múltiplo comum (MMC) de
e
.
Passo 5
Aplicar o critério ao nosso caso e encontrar o período fundamental.
Temos
e
. A razão é
que é um número racional. Portanto existe um
tal que
para inteiros
: por exemplo, tome
e
, daí
Portanto
é um período comum. Devemos verificar se existe algum período positivo menor que
.
Verificação direta de possíveis menores candidatos:
- Tentar
: calcule
Usando identidades,
Logo
(em geral, pois o sinal do termo do cosseno mudou), então
não é período da soma.
Raciocínio mais geral (para mostrar minimalidade): exigir que
seja período comum é exigir
para inteiros
. Da primeira igualdade vem
. Da segunda vem
. Então
, ou seja,
deve ser um inteiro par. O menor inteiro par positivo é
. Portanto não existe
real positivo menor que
que satisfaça ambas as igualdades simultaneamente. Assim
é o período fundamental.
Passo 6
Conclusão final (breve e encorajadora): o sinal é periódico porque os períodos dos dois termos são comensuráveis (razão racional) e o menor período comum é
. Isso significa que ao aproximar
de
a soma retorna exatamente ao mesmo valor — ótimo resultado para a prova!
Resposta
Periódico: sim.
Período fundamental: .
Período fundamental: