Indique se o sinal é periódico, justificando. Caso seja periódico, determine o período fundamental.
\quad x_{4}(t)=7 \cos (\pi t)+5 \operatorname{sen}(2 \pi t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x_{4}(t)=7\cos(\pi t)+5\sin(2\pi t),
e pede duas coisas:
  • indicar se o sinal é periódico (sim/não), justificando;
  • caso seja periódico, determinar o período fundamental.
Informações explícitas que temos do enunciado:
  • o primeiro termo é 7\cos(\pi t), ou seja, uma cossenoidal com argumento \pi t;
  • o segundo termo é 5\sin(2\pi t), ou seja, uma senoide com argumento 2\pi t.

Passo 2

Definição e ideia chave (explicada passo a passo, sem pular etapas).
Um sinal x(t) é periódico se existe um T>0 tal que
x(t+T)=x(t)\quad\text{para todo }t.
O menor T>0 que satisfaz isso chama-se período fundamental.
Para uma senoide ou cossenoide da forma \cos(\omega t) ou \sin(\omega t), onde \omega é a frequência angular (em rad/s), o período é obtido exigindo-se
\cos(\omega (t+T))=\cos(\omega t)\quad\text{e}\quad \sin(\omega (t+T))=\sin(\omega t).
Essas igualdades ocorrem sempre que \omega T for um múltiplo inteiro de 2\pi, isto é, quando
\omega T = 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
O menor T>0 que satisfaz isso (com k=1) é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Portanto, regra prática: para uma termo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t) o período fundamental é \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}.

Passo 3

Calcular os períodos dos termos individuais usando a fórmula \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}.
Para o primeiro termo 7\cos(\pi t):
  • a frequência angular é \omega_{1}=\pi.
  • seu período é
T_{1}=\frac{2\pi}{\omega_{1}}=\frac{2\pi}{\pi}=2.
Para o segundo termo 5\sin(2\pi t):
  • a frequência angular é \omega_{2}=2\pi.
  • seu período é
T_{2}=\frac{2\pi}{\omega_{2}}=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
Então os períodos individuais são \displaystyle T_{1}=2 e \displaystyle T_{2}=1.

Passo 4

Critério de periodicidade da soma de sinais periódicos (explicação didática).
Se x_{a}(t) tem período T_{a} e x_{b}(t) tem período T_{b}, então a soma x_{a}(t)+x_{b}(t) será periódica se existir um T>0 tal que T seja múltiplo inteiro de ambos T_{a} e T_{b}; isto é, se existirem inteiros positivos m,n tais que
T = mT_{a} = nT_{b}.
Em outras palavras, a soma é periódica quando a razão T_{a}/T_{b} é racional. O período fundamental da soma será o menor T>0 que satisfaz essa condição — na prática, o mínimo múltiplo comum (MMC) de T_{a} e T_{b}.

Passo 5

Aplicar o critério ao nosso caso e encontrar o período fundamental.
Temos \displaystyle T_{1}=2 e \displaystyle T_{2}=1. A razão é
\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{2}{1}=2,
que é um número racional. Portanto existe um T tal que T=mT_{1}=nT_{2} para inteiros m,n: por exemplo, tome m=1 e n=2, daí
T=1\cdot T_{1}=2\quad\text{e}\quad T=2\cdot T_{2}=2.
Portanto T=2 é um período comum. Devemos verificar se existe algum período positivo menor que 2.
Verificação direta de possíveis menores candidatos:
  • Tentar T=1: calcule
x_{4}(t+1)=7\cos(\pi(t+1))+5\sin(2\pi(t+1)).
Usando identidades,
\cos(\pi t+\pi)= -\cos(\pi t),\qquad \sin(2\pi t+2\pi)=\sin(2\pi t).
Logo
x_{4}(t+1)=-7\cos(\pi t)+5\sin(2\pi t)\neq x_{4}(t)
(em geral, pois o sinal do termo do cosseno mudou), então T=1 não é período da soma.
Raciocínio mais geral (para mostrar minimalidade): exigir que T seja período comum é exigir
\pi T = 2\pi k_{1}\quad\text{e}\quad 2\pi T = 2\pi k_{2}
para inteiros k_{1},k_{2}. Da primeira igualdade vem T=2k_{1}. Da segunda vem T=k_{2}. Então k_{2}=2k_{1}, ou seja, T deve ser um inteiro par. O menor inteiro par positivo é 2. Portanto não existe T real positivo menor que 2 que satisfaça ambas as igualdades simultaneamente. Assim T=2 é o período fundamental.

Passo 6

Conclusão final (breve e encorajadora): o sinal é periódico porque os períodos dos dois termos são comensuráveis (razão racional) e o menor período comum é 2. Isso significa que ao aproximar t de t+2 a soma retorna exatamente ao mesmo valor — ótimo resultado para a prova!

Resposta

Periódico: sim.
Período fundamental: T=2.

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