Um sinal
possui transformada de Fourier
. Determine a transformada de Fourier
em termos de
para cada um dos sinais apresentados a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier
em termos de
para o sinal
Informações dadas:
- A função
tem transformada de Fourier . - Deve-se expressar
usando e constantes/ fatores exponenciais que apareçam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição e as propriedades que serão úteis (explicando cada símbolo):
- Definição da transformada de Fourier (convenção usada aqui):
onde
é a variável do tempo,
é a frequência angular, e
é a unidade imaginária.
- Propriedade de linearidade: multiplicar o sinal por uma constante
multiplica a transformada por :
- Propriedade de deslocamento no tempo (time shift): se
tem transformada
ou seja, um deslocamento em tempo gera um fator exponencial em frequência. Aqui
é o deslocamento.
- Propriedade de escala no tempo (time scaling): para
,
Explicação rápida: o fator
aparece para preservar energia (é consequência da mudança de variável na integral), e o argumento
indica que a compressão/expansão no tempo corresponde a uma expansão/compressão na frequência. Se
for negativo, a fórmula continua válida (o sinal negativo aparecerá no argumento de
).
Passo 3
Reescreve a expressão dentro do sinal para ver claramente as operações de escala e deslocamento:
Logo
Isto é: primeiro se realiza uma compressão/espelhamento no tempo por fator
(porque argumentamos
), e depois um deslocamento no tempo por
(já que aparece
).
Passo 4
Vamos calcular
diretamente pela definição, para ver de onde vêm todos os fatores (muito didático para prova). Começamos com
Faço a mudança de variável conveniente: seja
. Então
e
. Substituindo:
As integrais com limites invertidos trocam de sinal, então isso resulta em
Passo 5
Agora simplifico o integrando separando o termo que depende de
do que não depende:
Substituindo na integral:
Mas a integral é a transformada de
avaliada em frequência
, pois
Passo 6
Portanto juntando tudo:
Explicação do resultado em termos de propriedades:
- O fator
vem da multiplicação externa por e do fator da compressão temporal por . - O argumento
mostra a inversão de frequência (sinal negativo) e a dilatação em frequência por (divisão por ). - O fator exponencial
corresponde ao deslocamento no tempo por .
Passo 7
Uma alternativa mais “propriedades em sequência” — útil na prova para raciocinar rápido:
- Defina
. Pela propriedade de escala:
- Depois
. Aplicando deslocamento e linearidade:
que dá o mesmo resultado.