Um sinal x(t) possui transformada de Fourier X(\omega). Determine a transformada de Fourier Y(\omega) em termos de X(\omega) para cada um dos sinais apresentados a seguir:
y(t)=\frac{1}{5} x(-2t+3)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Fourier Y(\omega) em termos de X(\omega) para o sinal
y(t)=\frac{1}{5}\,x(-2t+3).
Informações dadas:
  • A função x(t) tem transformada de Fourier X(\omega).
  • Deve-se expressar Y(\omega) usando X(\omega) e constantes/ fatores exponenciais que apareçam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição e as propriedades que serão úteis (explicando cada símbolo):
  • Definição da transformada de Fourier (convenção usada aqui):
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,
onde t é a variável do tempo, \omega é a frequência angular, e j é a unidade imaginária.
  • Propriedade de linearidade: multiplicar o sinal por uma constante \alpha multiplica a transformada por \alpha:
\alpha x(t) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \alpha X(\omega).
  • Propriedade de deslocamento no tempo (time shift): se x(t-t_0) tem transformada
x(t-t_0) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} X(\omega),
ou seja, um deslocamento em tempo gera um fator exponencial em frequência. Aqui t_0 é o deslocamento.
  • Propriedade de escala no tempo (time scaling): para a\neq 0,
x(a t) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{|a|} \, X\!\left(\frac{\omega}{a}\right).
Explicação rápida: o fator 1/|a| aparece para preservar energia (é consequência da mudança de variável na integral), e o argumento \omega/a indica que a compressão/expansão no tempo corresponde a uma expansão/compressão na frequência. Se a for negativo, a fórmula continua válida (o sinal negativo aparecerá no argumento de X).

Passo 3

Reescreve a expressão dentro do sinal para ver claramente as operações de escala e deslocamento:
-2t+3 = -2\bigl(t-\tfrac{3}{2}\bigr).
Logo
y(t)=\frac{1}{5}\,x\bigl(-2(t-\tfrac{3}{2})\bigr).
Isto é: primeiro se realiza uma compressão/espelhamento no tempo por fator a=-2 (porque argumentamos -2\cdot(\cdot)), e depois um deslocamento no tempo por t_0=\tfrac{3}{2} (já que aparece t-\tfrac{3}{2}).

Passo 4

Vamos calcular Y(\omega) diretamente pela definição, para ver de onde vêm todos os fatores (muito didático para prova). Começamos com
Y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} y(t)\,e^{-j\omega t}\,dt =\frac{1}{5}\int_{-\infty}^{\infty} x(-2t+3)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Faço a mudança de variável conveniente: seja \tau=-2t+3. Então t=\tfrac{3-\tau}{2} e dt=-\tfrac{1}{2}\,d\tau. Substituindo:
Y(\omega)=\frac{1}{5}\int_{+\infty}^{-\infty} x(\tau)\,e^{-j\omega \tfrac{3-\tau}{2}}\left(-\tfrac{1}{2}\right)\,d\tau.
As integrais com limites invertidos trocam de sinal, então isso resulta em
Y(\omega)=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,e^{-j\omega \tfrac{3-\tau}{2}}\,d\tau.

Passo 5

Agora simplifico o integrando separando o termo que depende de \tau do que não depende:
e^{-j\omega \tfrac{3-\tau}{2}} = e^{-j\omega \tfrac{3}{2}} \, e^{\;j\omega \tfrac{\tau}{2}}.
Substituindo na integral:
Y(\omega)=\frac{1}{10}\,e^{-j\omega \tfrac{3}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,e^{\;j\omega \tfrac{\tau}{2}}\,d\tau.
Mas a integral é a transformada de x(\tau) avaliada em frequência -\tfrac{\omega}{2}, pois
\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,e^{\;j\omega \tfrac{\tau}{2}}\,d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,e^{-j\bigl(-\tfrac{\omega}{2}\bigr)\tau}\,d\tau = X\!\bigl(-\tfrac{\omega}{2}\bigr).

Passo 6

Portanto juntando tudo:
Y(\omega)=\frac{1}{10}\,e^{-j\omega \tfrac{3}{2}}\,X\!\bigl(-\tfrac{\omega}{2}\bigr).
Explicação do resultado em termos de propriedades:
  • O fator \tfrac{1}{10}=\tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{2} vem da multiplicação externa por \tfrac{1}{5} e do fator \tfrac{1}{|a|}=\tfrac{1}{2} da compressão temporal por |a|=2.
  • O argumento X(-\tfrac{\omega}{2}) mostra a inversão de frequência (sinal negativo) e a dilatação em frequência por 2 (divisão por a=-2).
  • O fator exponencial e^{-j\omega \tfrac{3}{2}} corresponde ao deslocamento no tempo por t_0=\tfrac{3}{2}.

Passo 7

Uma alternativa mais “propriedades em sequência” — útil na prova para raciocinar rápido:
  1. Defina v(t)=x(-2t). Pela propriedade de escala:
V(\omega)=\frac{1}{2}\,X\!\bigl(-\tfrac{\omega}{2}\bigr).
  1. Depois y(t)=\tfrac{1}{5}v(t-\tfrac{3}{2}). Aplicando deslocamento e linearidade:
Y(\omega)=\frac{1}{5}\,e^{-j\omega \tfrac{3}{2}}\,V(\omega) =\frac{1}{5}\,e^{-j\omega \tfrac{3}{2}}\cdot\frac{1}{2}\,X\!\bigl(-\tfrac{\omega}{2}\bigr),
que dá o mesmo resultado.

Resposta

Y(\omega)=\frac{1}{10}\,e^{-j\frac{3\omega}{2}}\,X\!\bigl(-\tfrac{\omega}{2}\bigr).

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