Indique o termo difusivo, convectivo, de geração e acúmulo na equação da continuidade para coordenadas retangulares.

Passo 1

O enunciado quer que a gente identifique, na equação de continuidade (ou transporte) de uma grandeza escalar \varphi em coordenadas retangulares, os quatro termos típicos: acúmulo, convecção, difusão e geração. Esse é um conteúdo clássico de fenômenos de transporte.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da equação de transporte de \varphi em coordenadas retangulares, considerando densidade \rho, velocidade \mathbf{u}=(u,v,w), coeficiente de difusão \Gamma e termo de fonte S_{\varphi}:
\frac{\partial (\rho \varphi)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u \varphi)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v \varphi)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w \varphi)}{\partial z} = \frac{\partial }{\partial x}\!\Bigl(\Gamma \frac{\partial \varphi}{\partial x}\Bigr) + \frac{\partial }{\partial y}\!\Bigl(\Gamma \frac{\partial \varphi}{\partial y}\Bigr) + \frac{\partial }{\partial z}\!\Bigl(\Gamma \frac{\partial \varphi}{\partial z}\Bigr) + S_{\varphi}

Passo 3

O termo de acúmulo é a variação local no tempo de \varphi dentro do volume de controle:
\frac{\partial (\rho \varphi)}{\partial t}.

Passo 4

O termo convectivo representa o transporte de \varphi pelo escoamento e é dado pela divergência do fluxo convectivo:
\frac{\partial (\rho u \varphi)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v \varphi)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w \varphi)}{\partial z}.

Passo 5

O termo difusivo descreve o transporte por difusão (molecular ou turbulenta) e aparece como divergência do fluxo difusivo:
\frac{\partial }{\partial x}\!\Bigl(\Gamma \frac{\partial \varphi}{\partial x}\Bigr) + \frac{\partial }{\partial y}\!\Bigl(\Gamma \frac{\partial \varphi}{\partial y}\Bigr) + \frac{\partial }{\partial z}\!\Bigl(\Gamma \frac{\partial \varphi}{\partial z}\Bigr).

Passo 6

O termo de geração (ou fonte) corresponde à produção ou consumo volumétrico de \varphi: S_{\varphi}.

Resposta

Acúmulo: \displaystyle \frac{\partial (\rho \varphi)}{\partial t}
Convectivo: \displaystyle \frac{\partial (\rho u \varphi)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v \varphi)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w \varphi)}{\partial z}
Difusivo: \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\!\bigl(\Gamma \tfrac{\partial \varphi}{\partial x}\bigr) + \frac{\partial }{\partial y}\!\bigl(\Gamma \tfrac{\partial \varphi}{\partial y}\bigr) + \frac{\partial }{\partial z}\!\bigl(\Gamma \tfrac{\partial \varphi}{\partial z}\bigr)
Geração: \displaystyle S_{\varphi}

Exercícios relacionados