Indique o tipo de indeterminação e após resolva os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{e^{x-1}-x}{x-1}

Passo 1

O que o enunciado pede: indicar o tipo de indeterminação e, em seguida, calcular o limite
\lim_{x\to1}\frac{e^{x-1}-x}{x-1}.
Informações dadas: a expressão do numerador é e^{x-1}-x e do denominador é x-1. O ponto para o qual x tende é x=1. Não faremos ainda a resolução, apenas registramos o que é pedido.

Passo 2

Verificar a forma que aparece ao substituir x=1 (para identificar a indeterminação). Calculamos o numerador em x=1:
e^{1-1}-1 = e^{0}-1 = 1-1 = 0.
O denominador em x=1 é
1-1 = 0.
Portanto, ao substituir obtemos a forma \frac{0}{0}, isto é, uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}.

Passo 3

Explicando a Regra de L’Hôpital (de forma prática): quando temos um limite \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} que dá indeterminação do tipo \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e g'(x)\neq 0 perto de a, então podemos calcular
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista (finito ou infinito). Aqui podemos aplicar porque nosso numerador f(x)=e^{x-1}-x e denominador g(x)=x-1 são diferenciáveis perto de x=1, e g'(x) será diferente de zero.

Passo 4

Calcular as derivadas pedidas (explicando as regras usadas):
  • Derivada do denominador: g(x)=x-1 tem derivada
g'(x)=1,
porque a derivada de x é 1 e de -1 é 0.
  • Derivada do numerador: f(x)=e^{x-1}-x. Para derivar e^{x-1} usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u} é e^{u}\cdot u', onde u(x)=x-1 tem u'(x)=1. Então
\frac{d}{dx}e^{x-1}=e^{x-1}\cdot 1 = e^{x-1}.
A derivada de -x é -1. Logo
f'(x)=e^{x-1}-1.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to1}\frac{e^{x-1}-x}{x-1} = \lim_{x\to1}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to1}\frac{e^{x-1}-1}{1}.
O denominador agora é 1, então o limite é simplesmente
\lim_{x\to1}\bigl(e^{x-1}-1\bigr) = e^{1-1}-1 = e^{0}-1 = 1-1 = 0.

Passo 6

Comentário extra (checagem intuitiva): observe que a função h(x)=e^{x-1}-x satisfaz h(1)=0. O limite \lim_{x\to1}\frac{h(x)-h(1)}{x-1} é exatamente h'(1), e pelo cálculo de derivada acima h'(1)=e^{0}-1=0. Isso confirma o resultado obtido com L’Hôpital.

Resposta

Tipo de indeterminação: \frac{0}{0}
Valor do limite: 0

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