Indique o tipo de indeterminação e após resolva os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôpital.
Passo 1
O que o enunciado pede: indicar o tipo de indeterminação e, em seguida, calcular o limite
Informações dadas: a expressão do numerador é
e do denominador é
. O ponto para o qual
tende é
. Não faremos ainda a resolução, apenas registramos o que é pedido.
Passo 2
Verificar a forma que aparece ao substituir
(para identificar a indeterminação). Calculamos o numerador em
:
O denominador em
é
Portanto, ao substituir obtemos a forma
, isto é, uma indeterminação do tipo
.
Passo 3
Explicando a Regra de L’Hôpital (de forma prática): quando temos um limite
que dá indeterminação do tipo
ou
, e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e
perto de
, então podemos calcular
desde que o limite do lado direito exista (finito ou infinito). Aqui podemos aplicar porque nosso numerador
e denominador
são diferenciáveis perto de
, e
será diferente de zero.
Passo 4
Calcular as derivadas pedidas (explicando as regras usadas):
- Derivada do denominador:
tem derivada
porque a derivada de
é
e de
é
.
- Derivada do numerador:
. Para derivar usamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde tem . Então
A derivada de
é
. Logo
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
O denominador agora é
, então o limite é simplesmente
Passo 6
Comentário extra (checagem intuitiva): observe que a função
satisfaz
. O limite
é exatamente
, e pelo cálculo de derivada acima
. Isso confirma o resultado obtido com L’Hôpital.
Resposta
Tipo de indeterminação:
Valor do limite:
Valor do limite: