Indique o tipo de indeterminação e após resolva os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôpital.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: indicar o tipo de indeterminação e calcular o limite usando a Regra de L’Hôpital para
Informações dadas (o que sabemos ao olhar para a expressão quando
):
e
Portanto, a forma da razão quando
é
, que é uma indeterminação do tipo
. A partir daqui podemos tentar aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
O que é e quando podemos usar a Regra de L’Hôpital (explicação didática):
- Considere duas funções
e que são diferenciáveis numa vizinhança do ponto onde queremos o limite (exceto possivelmente no próprio ponto). Se ao tomar o limite temos uma forma indeterminada do tipo ou , então, sob condições técnicas (por exemplo perto do ponto), vale
quando o limite do lado direito existe (ou é
). Aqui
e
são as derivadas de
e
.
- Em palavras simples: para essas indeterminações, em vez de tentar o limite da razão original, podemos tomar as derivadas de cima e de baixo e avaliar o limite da nova razão — às vezes isso resolve a indeterminação. Se continuar indeterminado, podemos repetir o processo.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital pela primeira vez:
- Identificamos
e . - As derivadas são
e .
Pela Regra de L’Hôpital:
Agora avaliamos a forma desta nova razão quando
: ainda temos
e
, ou seja, ainda é uma indeterminação do tipo
. Podemos aplicar L’Hôpital novamente.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez:
- Agora as funções são
e . - As derivadas são
e .
Pela Regra de L’Hôpital:
Esta expressão já não é indeterminada:
quando
, e dividir por
apenas escala o infinito. Logo
Passo 5
Interpretação e intuição extra (ajuda para a prova):
- O resultado
significa que cresce muito mais rápido que qualquer polinômio como . Assim a razão tende ao infinito. - Outra forma rápida (sem L’Hôpital) que às vezes aparece na prova: dividir numerador e denominador por
dá
Como
decai muito rápido (vai para
), o produto
, então seu inverso tende para
. Isso concorda com o que obtivemos usando L’Hôpital.