Indique o tipo de indeterminação e após resolva os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: indicar o tipo de indeterminação e calcular o limite usando a Regra de L’Hôpital para
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}+x}.
Informações dadas (o que sabemos ao olhar para a expressão quando x\to+\infty):
e^{x}\longrightarrow +\infty
e
x^{2}+x\longrightarrow +\infty.
Portanto, a forma da razão quando x\to+\infty é \infty/\infty, que é uma indeterminação do tipo \infty/\infty. A partir daqui podemos tentar aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

O que é e quando podemos usar a Regra de L’Hôpital (explicação didática):
  • Considere duas funções f(x) e g(x) que são diferenciáveis numa vizinhança do ponto onde queremos o limite (exceto possivelmente no próprio ponto). Se ao tomar o limite temos uma forma indeterminada do tipo \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, então, sob condições técnicas (por exemplo g'(x)\neq 0 perto do ponto), vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
quando o limite do lado direito existe (ou é \pm\infty). Aqui f'(x) e g'(x) são as derivadas de f e g.
  • Em palavras simples: para essas indeterminações, em vez de tentar o limite da razão original, podemos tomar as derivadas de cima e de baixo e avaliar o limite da nova razão — às vezes isso resolve a indeterminação. Se continuar indeterminado, podemos repetir o processo.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez:
  • Identificamos f(x)=e^{x} e g(x)=x^{2}+x.
  • As derivadas são f'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e g'(x)=\dfrac{d}{dx}(x^{2}+x)=2x+1.
    Pela Regra de L’Hôpital:
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}+x} =\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{2x+1}.
Agora avaliamos a forma desta nova razão quando x\to+\infty: ainda temos e^{x}\to+\infty e 2x+1\to+\infty, ou seja, ainda é uma indeterminação do tipo \infty/\infty. Podemos aplicar L’Hôpital novamente.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital pela segunda vez:
  • Agora as funções são f_1(x)=e^{x} e g_1(x)=2x+1.
  • As derivadas são f_1'(x)=e^{x} e g_1'(x)=2.
    Pela Regra de L’Hôpital:
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{2x+1} =\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{2}.
Esta expressão já não é indeterminada: e^{x}\to+\infty quando x\to+\infty, e dividir por 2 apenas escala o infinito. Logo
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{2}=+\infty.

Passo 5

Interpretação e intuição extra (ajuda para a prova):
  • O resultado +\infty significa que e^{x} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio como x^{2}+x. Assim a razão \dfrac{e^{x}}{x^{2}+x} tende ao infinito.
  • Outra forma rápida (sem L’Hôpital) que às vezes aparece na prova: dividir numerador e denominador por e^{x}
\frac{e^{x}}{x^{2}+x}=\frac{1}{(x^{2}+x)e^{-x}}.
Como e^{-x} decai muito rápido (vai para 0), o produto (x^{2}+x)e^{-x}\to 0, então seu inverso tende para +\infty. Isso concorda com o que obtivemos usando L’Hôpital.

Resposta

+\infty

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