(1,0 pts) Derive
. (Forneça os passos intermediários para se chegar a resposta!)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma composição de três camadas: a função tangente aplicada a uma potência, que por sua vez envolve a função seno de
. - Não há informações adicionais (domínio, valores numéricos etc.). Precisamos derivar simbolicamente
.
Passo 2
Vamos identificar as “camadas” da composição para aplicar a regra da cadeia passo a passo. Defino:
Então
,
e
. A ideia da regra da cadeia é: derivar a camada externa mantendo a interna como “variável”, e multiplicar pela derivada da interna. Em notação genérica, se
então
Passo 3
Derivada da camada mais externa: a derivada de
em relação a
é
porque
e
. Aplicando isso à nossa função,
Passo 4
Derivada da camada do meio (potência):
. Pela regra da potência combinada com a regra da cadeia, se
então
Portanto
Passo 5
Derivada da camada interna:
com
. A derivada de
é
. Pela regra da cadeia,
Agora derivamos
: pela regra do poder,
Logo
Passo 6
Agora voltamos a
e substituímos
obtido no passo anterior:
Multiplicando os fatores numéricos,
Passo 7
Voltando à derivada de
do passo 3 e substituindo
de cima, obtemos
Reescrevendo
explicitamente como
, a derivada fica
Passo 8
Podemos comentar rapidamente uma forma alternativa de escrever o fator ligado à tangente:
. Então também é correto escrever
Mas vou deixar a resposta final na forma com
, que combina com a notação do enunciado.