(1,0 pts) Derive g(x)=\operatorname{tg}\left(\left(\operatorname{sen} x^{2}\right)^{3}\right). (Forneça os passos intermediários para se chegar a resposta!)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=\operatorname{tg}\!\big(\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{3}\big).
Informações dadas:
  • A função é uma composição de três camadas: a função tangente aplicada a uma potência, que por sua vez envolve a função seno de x^{2}.
  • Não há informações adicionais (domínio, valores numéricos etc.). Precisamos derivar simbolicamente g(x).

Passo 2

Vamos identificar as “camadas” da composição para aplicar a regra da cadeia passo a passo. Defino:
\begin{aligned} u(x) &= \big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{3},\\\ v(x) &= \operatorname{sen} x^{2},\\\ w(x) &= x^{2}. \end{aligned}
Então g(x)=\operatorname{tg}(u(x)), u(x)=\big(v(x)\big)^{3} e v(x)=\operatorname{sen}(w(x)). A ideia da regra da cadeia é: derivar a camada externa mantendo a interna como “variável”, e multiplicar pela derivada da interna. Em notação genérica, se G(x)=F(H(x)) então
G'(x)=F'(H(x))\cdot H'(x).

Passo 3

Derivada da camada mais externa: a derivada de \operatorname{tg}(z) em relação a z é
\frac{d}{dz}\operatorname{tg}(z)=1+\operatorname{tg}^{2}(z),
porque \frac{d}{dz}\tan z=\operatorname{sec}^{2}z e \operatorname{sec}^{2}z=1+\tan^{2}z. Aplicando isso à nossa função,
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(u(x))=\big(1+\operatorname{tg}^{2}(u(x))\big)\cdot u'(x).

Passo 4

Derivada da camada do meio (potência): u(x)=\big(v(x)\big)^{3}. Pela regra da potência combinada com a regra da cadeia, se u=v^{3} então
u'(x)=3\big(v(x)\big)^{2}\cdot v'(x).
Portanto
u'(x)=3\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{2}\cdot v'(x).

Passo 5

Derivada da camada interna: v(x)=\operatorname{sen}(w(x)) com w(x)=x^{2}. A derivada de \operatorname{sen}(z) é \cos z. Pela regra da cadeia,
v'(x)=\cos(w(x))\cdot w'(x)=\cos(x^{2})\cdot w'(x).
Agora derivamos w(x)=x^{2}: pela regra do poder,
w'(x)=2x.
Logo
v'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x = 2x\cos(x^{2}).

Passo 6

Agora voltamos a u'(x) e substituímos v'(x) obtido no passo anterior:
u'(x)=3\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{2}\cdot \big(2x\cos(x^{2})\big).
Multiplicando os fatores numéricos,
u'(x)=6x\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{2}\cos(x^{2}).

Passo 7

Voltando à derivada de g(x) do passo 3 e substituindo u'(x) de cima, obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(u(x))=\big(1+\operatorname{tg}^{2}(u(x))\big)\cdot 6x\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{2}\cos(x^{2}).
Reescrevendo u(x) explicitamente como \big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{3}, a derivada fica
g'(x)=6x\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{2}\cos(x^{2})\bigg(1+\operatorname{tg}^{2}\!\big(\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{3}\big)\bigg).

Passo 8

Podemos comentar rapidamente uma forma alternativa de escrever o fator ligado à tangente: 1+\operatorname{tg}^{2}(\cdot)=\operatorname{sec}^{2}(\cdot). Então também é correto escrever
g'(x)=6x\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{2}\cos(x^{2})\cdot \operatorname{sec}^{2}\!\big(\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{3}\big).
Mas vou deixar a resposta final na forma com \operatorname{tg}, que combina com a notação do enunciado.

Resposta

g'(x)=6x\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{2}\cos(x^{2})\left(1+\operatorname{tg}^{2}\!\big(\big(\operatorname{sen} x^{2}\big)^{3}\big)\right)

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