Um indivíduo fez quatro determinações de ferro em uma certa amostra e encontrou um valor médio de 31,40 % m / V e uma estimativa do desvio padrão, s, de 0,11 % m / V. Qual o intervalo em que deve estar a média da população, com um grau de confiança de 95 % ?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos apresenta uma situação onde medimos a quantidade de ferro em uma amostra quatro vezes e obtivemos uma média de 31,40% , m/V com um desvio padrão estimado de 0,11% , m/V. O objetivo aqui é encontrar o intervalo onde a média da população provavelmente está, com um nível de confiança de 95%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente o intervalo de confiança para a média quando o tamanho da amostra é pequeno e o desvio padrão da população não é conhecido.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores dentro da qual acreditamos que a verdadeira média da população está, com um certo grau de confiança. No nosso caso, queremos ter 95% de confiança de que a média da população está dentro desse intervalo.
Como temos uma amostra pequena (n = 4) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos utilizar a distribuição t de Student para calcular esse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular o erro padrão da média ( Ep), que é uma medida de quanto esperamos que a média da amostra varie em relação à média da população. A fórmula para o erro padrão da média é:
Ep = sraizn
Onde:
  • s é o desvio padrão da amostra ( 0,11% , m/V)
  • n é o tamanho da amostra (4)
Substituindo os valores:
Ep = 0,11raiz4 = 0,112 = 0,055
Então, o erro padrão da média é 0,055% , m/V.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t que corresponde a um nível de confiança de 95% e graus de liberdade ( df) igual a n - 1 = 3. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico t para df = 3 e 95% de confiança é aproximadamente 3,182.

Passo 5

Com o valor crítico t e o erro padrão da média, podemos calcular a margem de erro ( ME):
ME = t times Ep = 3,182 times 0,055 approx 0,175
Então, a margem de erro é aproximadamente 0,175% , m/V.

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
Intervalo de Confiança = Média pm ME = 31,40 pm 0,175 çé
Isso nos dá:
31,40 - 0,175 = 31,225
31,40 + 0,175 = 31,575

Resposta

Com 95% de confiança, a média da população está entre 31,225% , m/V e 31,575% , m/V.

Exercícios relacionados