Um indivíduo fez quatro determinações de ferro em uma certa amostra e encontrou um valor médio de
e uma estimativa do desvio padrão,
, de
. Qual o intervalo em que deve estar a média da população, com um grau de confiança de
?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos apresenta uma situação onde medimos a quantidade de ferro em uma amostra quatro vezes e obtivemos uma média de
com um desvio padrão estimado de
. O objetivo aqui é encontrar o intervalo onde a média da população provavelmente está, com um nível de confiança de
. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente o intervalo de confiança para a média quando o tamanho da amostra é pequeno e o desvio padrão da população não é conhecido.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores dentro da qual acreditamos que a verdadeira média da população está, com um certo grau de confiança. No nosso caso, queremos ter
de confiança de que a média da população está dentro desse intervalo.
Como temos uma amostra pequena (n = 4) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos utilizar a distribuição t de Student para calcular esse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular o erro padrão da média (
), que é uma medida de quanto esperamos que a média da amostra varie em relação à média da população. A fórmula para o erro padrão da média é:
Onde:
-
é o desvio padrão da amostra ( ) -
é o tamanho da amostra (4)
Substituindo os valores:
Então, o erro padrão da média é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t que corresponde a um nível de confiança de
e graus de liberdade (
) igual a
. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico t para
e
de confiança é aproximadamente
.
Passo 5
Com o valor crítico t e o erro padrão da média, podemos calcular a margem de erro (
):
Então, a margem de erro é aproximadamente
.
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
Isso nos dá:
Resposta
Com
de confiança, a média da população está entre
e
.