Por indução, prove que, se A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} são matrizes invertíveis do mesmo tamanho, o produto A_{1} A_{2} \cdots A_{n} é invertível e \left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)^{-1}=A_{n}{ }^{-1} \cdots A_{2}{ }^{-1} A_{1}{ }^{-1}.

Passo 1

O objetivo é provar, por indução em n, que se A_{1},A_{2},\dots,A_{n} são matrizes invertíveis de mesma ordem então o produto
A_{1}A_{2}\cdots A_{n}
é invertível e sua inversa satisfaz
\bigl(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}\bigr)^{-1} = A_{n}^{-1}A_{n-1}^{-1}\cdots A_{1}^{-1}.
Conteúdo envolvido: princípio da indução, definição de matriz invertível e propriedade do inverso de produto de duas matrizes.

Passo 2

(Caso base n=1)
Se n=1, o produto é A_{1}. Como A_{1} é invertível por hipótese, obviamente
\bigl(A_{1}\bigr)^{-1} = A_{1}^{-1},
que coincide com a fórmula desejada. Assim, o caso base está validado.

Passo 3

(Hipótese de indução)
Suponha que, para um certo k\ge1, valha que, sempre que temos k matrizes invertíveis A_{1},\dots,A_{k}, o produto A_{1}\cdots A_{k} é invertível e
\bigl(A_{1}\cdots A_{k}\bigr)^{-1} = A_{k}^{-1}\cdots A_{1}^{-1}.
Vamos mostrar a propriedade para n=k+1.

Passo 4

(Passo indutivo)
Considere k+1 matrizes invertíveis A_{1},\dots,A_{k},A_{k+1}. Defina
B = A_{1}A_{2}\cdots A_{k}.
Pela hipótese de indução, B é invertível e
B^{-1} = A_{k}^{-1}A_{k-1}^{-1}\cdots A_{1}^{-1}.
Agora o produto total é
A_{1}\cdots A_{k}A_{k+1} = B\,A_{k+1}.
Como B e A_{k+1} são invertíveis, sabemos (por propriedade clássica de inverso de produto de duas matrizes) que
\bigl(B\,A_{k+1}\bigr)^{-1} = A_{k+1}^{-1}\,B^{-1}.
Substituindo B^{-1} pela expressão da hipótese de indução,
\bigl(A_{1}\cdots A_{k}A_{k+1}\bigr)^{-1} = A_{k+1}^{-1}\,\bigl(A_{k}^{-1}\cdots A_{1}^{-1}\bigr) = A_{k+1}^{-1}A_{k}^{-1}\cdots A_{1}^{-1},
o que completa o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução, para todo n\ge1 vale que
\bigl(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}\bigr)^{-1} = A_{n}^{-1}A_{n-1}^{-1}\cdots A_{1}^{-1}.

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