Por indução, prove que, se
são matrizes invertíveis do mesmo tamanho, o produto
é invertível e
.
Passo 1
O objetivo é provar, por indução em
, que se
são matrizes invertíveis de mesma ordem então o produto
é invertível e sua inversa satisfaz
Conteúdo envolvido: princípio da indução, definição de matriz invertível e propriedade do inverso de produto de duas matrizes.
Passo 2
(Caso base
)
Se , o produto é
. Como
é invertível por hipótese, obviamente
Se
que coincide com a fórmula desejada. Assim, o caso base está validado.
Passo 3
(Hipótese de indução)
Suponha que, para um certo , valha que, sempre que temos
matrizes invertíveis
, o produto
é invertível e
Suponha que, para um certo
Vamos mostrar a propriedade para
.
Passo 4
(Passo indutivo)
Considere matrizes invertíveis
. Defina
Considere
Pela hipótese de indução,
é invertível e
Agora o produto total é
Como
e
são invertíveis, sabemos (por propriedade clássica de inverso de produto de duas matrizes) que
Substituindo
pela expressão da hipótese de indução,
o que completa o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução, para todo
vale que