Dê um contra-exemplo para mostrar que, em geral, (A+B)^{-1} \neq A^{-1}+B^{-1}.

Passo 1

Queremos mostrar que, em geral, para matrizes invertíveis A e B vale
(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}.
Para isso, basta encontrar um par de matrizes A e B invertíveis tais que esse desigualdade aconteça.

Passo 2

Escolhemos o caso mais simples: sejam A e B iguais à matriz identidade 2\times2
A = I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como A e B são identidades, suas inversas são elas próprias:
A^{-1} = I_2, \quad B^{-1} = I_2.

Passo 4

Somando as inversas, obtemos
A^{-1} + B^{-1} = I_2 + I_2 = 2\,I_2 = \begin{pmatrix}2 & 0\\[6pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora somamos A e B e invertamos:
A + B = I_2 + I_2 = 2\,I_2,
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(A+B)^{-1} = (2\,I_2)^{-1} = \tfrac12\,I_2 = \begin{pmatrix}\tfrac12 & 0\\[6pt]0 & \tfrac12\end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparando as duas matrizes:
(A+B)^{-1} = \begin{pmatrix}\tfrac12 & 0\\[6pt]0 & \tfrac12\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 0\\[6pt]0 & 2\end{pmatrix},
vemos claramente que
(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}.]

Resposta

Um contra‐exemplo é
A = I_2,\quad B = I_2,
pois aí
(A+B)^{-1} = \tfrac12\,I_2 \neq 2\,I_2 = A^{-1} + B^{-1}.

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