Uma indústria deseja utilizar uma longa vala de drenagem para eliminar o odor dos seus resíduos. Suponha que a vala aja como o reator de vazão a pistão. A redução do odor
comporta-se como uma reação de primeira ordem, com a constante da taxa \mathrm{K}=0,35 \operatorname{dia}^{-1}. A taxa de vazão é de 1.600 \mathrm{~L} / \mathrm{d}. Qual deverá ser o comprimento da vala se a velocidade do fluxo for 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e deseja-se reduzir o odor em 75%? Os cálculos serão avaliados.
a) 160 Km
b) 170 Km
c) 180 Km
d) 190 Km

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Constante de reação de primeira ordem: k = 0,35\\ \text{dia}^{-1}.
  • Vazão volumétrica: Q = 1\,600\\ \text{L/d}. (informação fornecida)
  • Velocidade do fluxo dentro da vala: v = 0,5\\ \text{m/s}.
  • Redução desejada do odor: 75\%, isto é, a concentração final deve ser 25\% da inicial, portanto \dfrac{C}{C_0}=0,25.
  • Pergunta: qual o comprimento L da vala necessário para atingir essa redução?
Observação rápida: a vazão Q foi dada, mas para calcular o comprimento precisamos do tempo de residência e da velocidade v. Assim, Q não será necessária para achar L (poderia ser usada para estimar a seção transversal da vala se fosse pedido).

Passo 2

Modelo e fórmula a usar (explicação didática):
  • Para um reator do tipo vazão a pistão (plug flow reactor, PFR) com reação de primeira ordem, a concentração decai exponencialmente com o tempo de residência. A expressão é
C = C_0 e^{-k t},
onde:
  • C é a concentração no efluente,
  • C_0 é a concentração na entrada,
  • k é a constante de taxa (aqui em \text{dia}^{-1}),
  • t é o tempo de residência (unidade compatível com k, aqui em dias).
  • Isolando t a partir de \dfrac{C}{C_0}=e^{-k t} obtém-se
t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{C}{C_0}\right).
Explicando: \ln é o logaritmo natural; para primeira ordem o decaimento é proporcional à concentração instantânea, levando a essa solução exponencial. Aqui queremos \dfrac{C}{C_0}=0,25.

Passo 3

Calcular o tempo de residência necessário (em dias):
t = -\frac{1}{0,35}\ln(0,25) = \frac{\ln(4)}{0,35}.
Agora os números:
\ln(4)\approx 1,386294,
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t \approx \frac{1,386294}{0,35}\approx 3,96084\\ \text{dias}.

Passo 4

Converter o tempo de dias para segundos (porque v está em \text{m/s}):
  • 1\\ \text{dia} = 86\,400\\ \text{s}.
t_{\text{s}} = 3,96084\\ \text{dias}\times 86\,400\\ \frac{\text{s}}{\text{dia}} \approx 342\,216,576\\ \text{s}.

Passo 5

Calcular o comprimento da vala usando L = v\,t_{\text{s}}:
L = 0,5\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\times 342\,216,576\\ \text{s} = 171\,108,288\\ \text{m}.
Converter para quilômetros:
L \approx 171,108288\\ \text{km} \approx 171{,}11\\ \text{km}.

Passo 6

Escolher a alternativa mais próxima:
  • O valor calculado é \approx 171{,}11\\ \text{km}, portanto a alternativa mais próxima é a letra (b) 170\\ \text{Km}.
Força aí — deu trabalho, mas chegamos na resposta juntos!

Resposta

b) 170 Km

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