Uma indústria fabrica um tipo de equipamento que é fornecido em lotes de 30 unidades. Para avaliar a qualidade de produção do equipainento, o inspetor responsável pelo controle de qualidade dessa indústria propôs o seguinte procedimento: sorteia-se um lote e, deste, selecionam-se nove equipamentos para teste, sem reposição. Se for constatado que no máximo um equipamento está com defeito, então o lote é aceito. Considerändo que um lote tenha seis peças com defeito, qual a probabilidade de que tal lote seja aceito pelo controle de qualidade? Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta:
Verificar
Resposta:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre controle de qualidade numa indústria que fabrica equipamentos em lotes de 30 unidades. A ideia é verificar se um lote é bom selecionando 9 equipamentos aleatoriamente. Se no máximo um desses 9 estiver com defeito, o lote é aceito. O lance é: se o lote tem 6 peças defeituosas, qual a probabilidade desse lote ser aceito pelo controle de qualidade? A gente vai usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os números:
- Total de equipamentos no lote: 30
- Equipamentos com defeito: 6
- Equipamentos sem defeito: 24 (porque 30 - 6 = 24)
- Equipamentos selecionados para teste: 9
A gente quer saber a probabilidade de selecionar no máximo 1 equipamento defeituoso entre os 9 testados.
Passo 3
Vamos lembrar que, quando estamos selecionando sem reposição (ou seja, sem colocar de volta), usamos a distribuição hipergeométrica. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente k sucessos (no nosso caso, equipamentos defeituosos) em amostras sem reposição é:
Onde:
- $ D $ é o número de itens defeituosos na população (6)
- $ G $ é o número de itens bons na população (24)
- $ N $ é o tamanho total da população (30)
- $ n $ é o número de itens na amostra (9)
- $ k $ é o número de itens defeituosos na amostra (0 ou 1 no nosso caso)
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de não encontrar nenhum defeituoso ($ k = 0 $):
Calculando cada combinação:
- $ \binom{6}{0} = 1 $ (há apenas uma maneira de não escolher nenhum defeituoso)
- $ \binom{24}{9} = 1.307.504 $
- $ \binom{30}{9} = 14.307.150 $
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente um defeituoso ($ k = 1 $):
Calculando cada combinação:
- $ \binom{6}{1} = 6 $ (6 maneiras de escolher um defeituoso)
- $ \binom{24}{8} = 735.471 $
- $ \binom{30}{9} = 14.307.150 $ (mesmo valor do passo anterior)
Então,
Passo 6
Para encontrar a probabilidade total de aceitar o lote, que é a soma das probabilidades de encontrar 0 ou 1 defeituoso, somamos os resultados dos passos 4 e 5: