Uma indústria fabrica um tipo de equipamento que é fornecido em lotes de 30 unidades. Para avaliar a qualidade de produção do equipainento, o inspetor responsável pelo controle de qualidade dessa indústria propôs o seguinte procedimento: sorteia-se um lote e, deste, selecionam-se nove equipamentos para teste, sem reposição. Se for constatado que no máximo um equipamento está com defeito, então o lote é aceito. Considerändo que um lote tenha seis peças com defeito, qual a probabilidade de que tal lote seja aceito pelo controle de qualidade? Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta: square
Verificar

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre controle de qualidade numa indústria que fabrica equipamentos em lotes de 30 unidades. A ideia é verificar se um lote é bom selecionando 9 equipamentos aleatoriamente. Se no máximo um desses 9 estiver com defeito, o lote é aceito. O lance é: se o lote tem 6 peças defeituosas, qual a probabilidade desse lote ser aceito pelo controle de qualidade? A gente vai usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os números:
  • Total de equipamentos no lote: 30
  • Equipamentos com defeito: 6
  • Equipamentos sem defeito: 24 (porque 30 - 6 = 24)
  • Equipamentos selecionados para teste: 9
A gente quer saber a probabilidade de selecionar no máximo 1 equipamento defeituoso entre os 9 testados.

Passo 3

Vamos lembrar que, quando estamos selecionando sem reposição (ou seja, sem colocar de volta), usamos a distribuição hipergeométrica. A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente k sucessos (no nosso caso, equipamentos defeituosos) em amostras sem reposição é:
P(X = k) = binomDk times binomGn - kbinomNn
Onde:
  • $ D $ é o número de itens defeituosos na população (6)
  • $ G $ é o número de itens bons na população (24)
  • $ N $ é o tamanho total da população (30)
  • $ n $ é o número de itens na amostra (9)
  • $ k $ é o número de itens defeituosos na amostra (0 ou 1 no nosso caso)

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de não encontrar nenhum defeituoso ($ k = 0 $):
k = 0
Calculando cada combinação:
  • $ \binom{6}{0} = 1 $ (há apenas uma maneira de não escolher nenhum defeituoso)
  • $ \binom{24}{9} = 1.307.504 $
  • $ \binom{30}{9} = 14.307.150 $
Então,
P(X = 0) = binom60 times binom249binom309

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar exatamente um defeituoso ($ k = 1 $):
k = 1
Calculando cada combinação:
  • $ \binom{6}{1} = 6 $ (6 maneiras de escolher um defeituoso)
  • $ \binom{24}{8} = 735.471 $
  • $ \binom{30}{9} = 14.307.150 $ (mesmo valor do passo anterior)
Então,
P(X = 1) = binom61 times binom248binom309

Passo 6

Para encontrar a probabilidade total de aceitar o lote, que é a soma das probabilidades de encontrar 0 ou 1 defeituoso, somamos os resultados dos passos 4 e 5:
P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) approx 0,0912 + 0,3088 = 0,4000

Resposta

0,4000

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