O tempo de montagem de um determinado mecanismo é uma v.a. com distribuição Uniforme contínua no intervalo de 25 a 40 segundos. Determine:
b. O tempo abaixo do qual
das montagens são feitas. Utilize 3 casas decimais.
b. O tempo abaixo do qual
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o tempo de montagem de um mecanismo, que é uma variável aleatória (v.a.) com distribuição Uniforme contínua entre 25 e 40 segundos. A gente precisa descobrir qual é o tempo abaixo do qual 80% das montagens são feitas. Vamos usar alguns conceitos de distribuição uniforme para chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme contínua. Nesse tipo de distribuição, todos os resultados dentro do intervalo são igualmente prováveis. No nosso caso, o tempo de montagem pode ser qualquer valor entre 25 e 40 segundos com a mesma chance.
A fórmula da função de distribuição acumulada (FDA) para uma distribuição uniforme contínua é:
onde:
- $ a $ é o limite inferior do intervalo (25 segundos),
- $ b $ é o limite superior do intervalo (40 segundos),
- $ x $ é o valor que queremos encontrar.
Passo 3
Queremos encontrar o valor de $ x $ tal que 80% das montagens são feitas abaixo desse tempo. Isso significa que $ F(x) = 0,80 $.
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ x $:
Multiplicando ambos os lados por 15:
Adicionando 25 em ambos os lados:
Resposta
O tempo abaixo do qual 80% das montagens são feitas é de 37,000 segundos.