O tempo de montagem de um determinado mecanismo é uma v.a. com distribuição Uniforme contínua no intervalo de 25 a 40 segundos. Determine:
b. O tempo abaixo do qual 80 % das montagens são feitas. Utilize 3 casas decimais. square

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre o tempo de montagem de um mecanismo, que é uma variável aleatória (v.a.) com distribuição Uniforme contínua entre 25 e 40 segundos. A gente precisa descobrir qual é o tempo abaixo do qual 80% das montagens são feitas. Vamos usar alguns conceitos de distribuição uniforme para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme contínua. Nesse tipo de distribuição, todos os resultados dentro do intervalo são igualmente prováveis. No nosso caso, o tempo de montagem pode ser qualquer valor entre 25 e 40 segundos com a mesma chance.
A fórmula da função de distribuição acumulada (FDA) para uma distribuição uniforme contínua é:
F(x) = x - ab - a
onde:
  • $ a $ é o limite inferior do intervalo (25 segundos),
  • $ b $ é o limite superior do intervalo (40 segundos),
  • $ x $ é o valor que queremos encontrar.

Passo 3

Queremos encontrar o valor de $ x $ tal que 80% das montagens são feitas abaixo desse tempo. Isso significa que $ F(x) = 0,80 $.
Vamos substituir os valores na fórmula:
x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ x $:
x
Multiplicando ambos os lados por 15:
0,80 = x - 2515
0,80 times 15 = x - 25
Adicionando 25 em ambos os lados:
12 = x - 25
x = 12 + 25

Resposta

O tempo abaixo do qual 80% das montagens são feitas é de 37,000 segundos.

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