Uma indústria fabrica um único tipo de produto e vende, em média, 80 \% de sua produção. O custo para fabricar uma quantidade x de produtos é dado por uma função, simbolizada por C(x), enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda de uma quantidade y de produtos também é uma função, simbolizada por F(y). Dessa forma, o lucro obtido é dado pela expressão:
L=F(y)-C(x)
Sabendo que F(y)=6 y e C(x)=2,3 x+20, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?

Passo 1

Vou deixar bem explícito o que o enunciado pede e quais informações ele fornece.
O enunciado pergunta: qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
Informações dadas:
  • A empresa vende, em média, 80\% da sua produção.
  • O custo para fabricar uma quantidade x de produtos é C(x)=2,3x+20.
  • O faturamento obtido com a venda de uma quantidade y de produtos é F(y)=6y.
  • O lucro é dado por L=F(y)-C(x).
Observação importante: “não ter prejuízo” significa que o lucro deve ser maior ou igual a zero, isto é, L\ge 0.

Passo 2

Relacionar y (quantidade vendida) com x (quantidade fabricada) usando o dado de 80\%.
Se a indústria fabrica x unidades e vende 80\% dessa produção, então
y=0,8x.
Explicação rápida: 80\% em notação decimal é 0,8. Multiplicar a produção x por 0,8 dá a quantidade média vendida y.

Passo 3

Substituir y=0,8x na expressão do lucro L=F(y)-C(x).
Temos F(y)=6y e C(x)=2,3x+20. Logo
L = 6y - (2,3x+20).
Substituindo y=0,8x obtemos
L = 6(0,8x) - (2,3x+20).

Passo 4

Calcular a multiplicação 6\cdot0,8x e simplificar os termos semelhantes.
Primeiro:
6(0,8x)=4,8x.
Portanto
L = 4,8x - 2,3x - 20.
Explicação didática: multiplicar 6 por 0,8 dá 4,8 — pensando em decimais, 6\times0,8=4,8. Depois subtrai-se o termo de custo variável 2,3x e o custo fixo 20.

Passo 5

Juntar os coeficientes de x (termos semelhantes).
4,8x-2,3x=(4,8-2,3)x=2,5x.
Assim
L=2,5x-20.
Interpretação: o lucro é uma função afim de x com coeficiente 2,5 (lucro por unidade produzida vendida, já ajustado pela taxa de venda média) e custo fixo de 20.

Passo 6

Impor a condição “não ter prejuízo” e resolver a desigualdade.
Queremos L\ge 0, então
2,5x-20\ge 0.
Isolando x:
2,5x\ge 20.
Dividindo ambos os lados por 2,5 (número positivo, a desigualdade não muda de sentido):
x\ge \frac{20}{2,5}.

Passo 7

Calcular a divisão \dfrac{20}{2,5}.
Uma maneira clara de ver isso é transformar 2,5 em fração: 2,5=\dfrac{5}{2}. Então
\frac{20}{2,5}=\frac{20}{\tfrac{5}{2}}=20\cdot\frac{2}{5}=8.
Portanto x\ge 8.
Comentário prático: como x é número de produtos fabricados (quantidade inteira), a menor quantidade inteira que satisfaz x\ge 8 é exatamente x=8. Verificação rápida: se x=8, então y=0,8\cdot8=6,4, faturamento F=6\cdot6,4=38,4 e custo C=2,3\cdot8+20=18,4+20=38,4, logo lucro L=0 — ponto de equilíbrio (sem prejuízo).

Passo 8

Conclusão final: a indústria precisa fabricar pelo menos 8 produtos para não ter prejuízo. Força aí — você já tem a condição exata para a prova: produzir 8 dá lucro zero; qualquer produção acima disso dá lucro positivo.

Resposta

8 produtos

Exercícios relacionados