Uma indústria fabrica um único tipo de produto e vende, em média,
de sua produção. O custo para fabricar uma quantidade
de produtos é dado por uma função, simbolizada por
, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda de uma quantidade
de produtos também é uma função, simbolizada por
. Dessa forma, o lucro obtido é dado pela expressão:
Sabendo que
e
, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
Passo 1
Vou deixar bem explícito o que o enunciado pede e quais informações ele fornece.
O enunciado pergunta: qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
Informações dadas:
- A empresa vende, em média,
da sua produção. - O custo para fabricar uma quantidade
de produtos é . - O faturamento obtido com a venda de uma quantidade
de produtos é . - O lucro é dado por
.
Observação importante: “não ter prejuízo” significa que o lucro deve ser maior ou igual a zero, isto é,
.
Passo 2
Relacionar
(quantidade vendida) com
(quantidade fabricada) usando o dado de
.
Se a indústria fabrica
unidades e vende
dessa produção, então
Explicação rápida:
em notação decimal é
. Multiplicar a produção
por
dá a quantidade média vendida
.
Passo 3
Substituir
na expressão do lucro
.
Temos
e
. Logo
Substituindo
obtemos
Passo 4
Calcular a multiplicação
e simplificar os termos semelhantes.
Primeiro:
Portanto
Explicação didática: multiplicar 6 por 0,8 dá 4,8 — pensando em decimais,
. Depois subtrai-se o termo de custo variável
e o custo fixo
.
Passo 5
Juntar os coeficientes de
(termos semelhantes).
Assim
Interpretação: o lucro é uma função afim de
com coeficiente
(lucro por unidade produzida vendida, já ajustado pela taxa de venda média) e custo fixo de
.
Passo 6
Impor a condição “não ter prejuízo” e resolver a desigualdade.
Queremos
, então
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
(número positivo, a desigualdade não muda de sentido):
Passo 7
Calcular a divisão
.
Uma maneira clara de ver isso é transformar
em fração:
. Então
Portanto
.
Comentário prático: como
é número de produtos fabricados (quantidade inteira), a menor quantidade inteira que satisfaz
é exatamente
. Verificação rápida: se
, então
, faturamento
e custo
, logo lucro
— ponto de equilíbrio (sem prejuízo).
Passo 8
Conclusão final: a indústria precisa fabricar pelo menos
produtos para não ter prejuízo. Força aí — você já tem a condição exata para a prova: produzir
dá lucro zero; qualquer produção acima disso dá lucro positivo.