A expressão
representa a concentração de determinado fármaco em função do tempo (em horas), a partir do momento em que um paciente ingere uma dose. Após tomar uma dose, quanto tempo será necessário para que o corpo do paciente elimine completamente o medicamento?
Passo 1
O enunciado dá a concentração do fármaco em função do tempo pela expressão
, onde
está em horas. A pergunta é: “Após tomar uma dose, quanto tempo será necessário para que o corpo do paciente elimine completamente o medicamento?”\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função concentração-tempo é
. - A unidade de
é horas. - Eliminação completa significa concentração igual a zero, isto é procurar tempos
tais que .
Não há outras informações (por exemplo limites físicos adicionais), então vamos trabalhar com a função dada e procurar as raízes não negativas da função.
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática): para encontrar quando a concentração chega a zero, devemos resolver a equação
Isto é, resolver a equação quadrática
Explico rapidamente por que: uma “equação quadrática” tem a forma geral
onde
,
,
são números. Suas soluções são os valores de
em que a função volta a valer zero. Fisicamente, queremos a solução com
(tempos não negativos). Existem dois métodos úteis: fatoração (quando possível) e a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Vou começar pela fatoração, que aqui é simples.
Passo 3
Resolver por fatoração: escrevemos a equação
Fatorando
em evidência:
Uma propriedade básica do produto é: se
, então
ou
. Aplicando aqui:
Resolvendo a segunda igualdade:
Passo 4
Interpretação das raízes (explicação didática): as soluções da equação são
e
(horas). O valor
corresponde ao instante inicial, imediatamente após a ingestão (o modelo matemático dá
aqui). O outro valor
é o tempo positivo, diferente de zero, em que a concentração volta a ser zero — ou seja, é quando o medicamento foi eliminado completamente segundo este modelo. Tempos negativos não são fisicamente relevantes, e aqui não aparecem.
Passo 5
Verificação com a fórmula quadrática (aula rápida sobre Bhaskara): para qualquer quadrática
, as soluções são
No nosso caso temos
,
e
. O discriminante é
Logo
Isso dá as duas soluções
confirmando o resultado por fatoração. (Ensina: a fórmula é útil quando não dá pra fatorar facilmente.)
Passo 6
Observação extra útil para prova (mas não pedida): essa função é uma parábola que abre para baixo (pois
), portanto ela atinge um máximo antes de decair a zero. O tempo do pico fica em
ou seja, a concentração sobe até
h e depois decai até zero em
h. Isso ajuda a entender o comportamento físico do modelo.