A expressão c(t)=-t^{2}+2,5 t representa a concentração de determinado fármaco em função do tempo (em horas), a partir do momento em que um paciente ingere uma dose. Após tomar uma dose, quanto tempo será necessário para que o corpo do paciente elimine completamente o medicamento?

Passo 1

O enunciado dá a concentração do fármaco em função do tempo pela expressão \,c(t)=-t^{2}+2,5\,t\,, onde t está em horas. A pergunta é: “Após tomar uma dose, quanto tempo será necessário para que o corpo do paciente elimine completamente o medicamento?”\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função concentração-tempo é \,c(t)=-t^{2}+2,5\,t.
  • A unidade de t é horas.
  • Eliminação completa significa concentração igual a zero, isto é procurar tempos t tais que c(t)=0.
    Não há outras informações (por exemplo limites físicos adicionais), então vamos trabalhar com a função dada e procurar as raízes não negativas da função.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): para encontrar quando a concentração chega a zero, devemos resolver a equação
c(t)=0.
Isto é, resolver a equação quadrática
-t^{2}+2,5\,t=0.
Explico rapidamente por que: uma “equação quadrática” tem a forma geral
a t^{2}+b t + c = 0,
onde a, b, c são números. Suas soluções são os valores de t em que a função volta a valer zero. Fisicamente, queremos a solução com t\ge 0 (tempos não negativos). Existem dois métodos úteis: fatoração (quando possível) e a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Vou começar pela fatoração, que aqui é simples.

Passo 3

Resolver por fatoração: escrevemos a equação
-t^{2}+2,5\,t=0.
Fatorando t em evidência:
t\bigl(-t+2,5\bigr)=0.
Uma propriedade básica do produto é: se A\cdot B=0, então A=0 ou B=0. Aplicando aqui:
t=0 \quad\text{ou}\quad -t+2,5=0.
Resolvendo a segunda igualdade:
-t+2,5=0 \;\Longrightarrow\; -t=-2,5 \;\Longrightarrow\; t=2,5.

Passo 4

Interpretação das raízes (explicação didática): as soluções da equação são t=0 e t=2,5 (horas). O valor t=0 corresponde ao instante inicial, imediatamente após a ingestão (o modelo matemático dá c(0)=0 aqui). O outro valor t=2,5 é o tempo positivo, diferente de zero, em que a concentração volta a ser zero — ou seja, é quando o medicamento foi eliminado completamente segundo este modelo. Tempos negativos não são fisicamente relevantes, e aqui não aparecem.

Passo 5

Verificação com a fórmula quadrática (aula rápida sobre Bhaskara): para qualquer quadrática a t^{2}+b t + c = 0, as soluções são
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
No nosso caso temos a=-1, b=2,5 e c=0. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=(2,5)^{2}-4(-1)(0)=6,25.
Logo
t=\frac{-2,5\pm\sqrt{6,25}}{2(-1)}=\frac{-2,5\pm2,5}{-2}.
Isso dá as duas soluções
t=\frac{-2,5+2,5}{-2}=0 \qquad\text{e}\qquad t=\frac{-2,5-2,5}{-2}=\frac{-5}{-2}=2,5,
confirmando o resultado por fatoração. (Ensina: a fórmula é útil quando não dá pra fatorar facilmente.)

Passo 6

Observação extra útil para prova (mas não pedida): essa função é uma parábola que abre para baixo (pois a=-1<0), portanto ela atinge um máximo antes de decair a zero. O tempo do pico fica em
t_{\text{vértice}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2,5}{2(-1)}=1,25\\ \text{h},é
ou seja, a concentração sobe até t=1,25 h e depois decai até zero em t=2,5 h. Isso ajuda a entender o comportamento físico do modelo.

Resposta

t=2,5\\ \text{h}

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