Ricardo trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de
500,00
\mathrm{R} $60,00
\mathrm{R} $ 350,00
\mathrm{R} $85,00$ por hora. Determine o tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Ricardo.
Passo 1
O enunciado dá os preços cobrados por dois DJs e pede o tempo máximo de duração da festa para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Ricardo.
Informações fornecidas:
- Ricardo cobra uma taxa fixa de
mais por hora. - Daniel cobra uma taxa fixa de
mais por hora.
O que o problema pede:
- Determinar o tempo máximo de duração da festa (em horas) tal que o custo de Daniel não seja maior que o custo de Ricardo. Em linguagem matemática: achar o maior valor de
(horas) que satisfaz .
Passo 2
Definir variável e montar as expressões de custo.
- Seja
o tempo de duração da festa, em horas. Aqui . - Custo total de Ricardo:
Explanação:
é a taxa fixa em reais e
é o custo que cresce linearmente com
(cada hora soma
reais).
- Custo total de Daniel:
Explanação:
é a taxa fixa de Daniel e
é o adicional por hora.
O objetivo é garantir
.
Passo 3
Montar a desigualdade que representa “Daniel não ficar mais caro que Ricardo”.
Explicação: colocou-se o custo de Daniel no lado esquerdo e o custo de Ricardo no direito, e exigiu-se que o primeiro seja menor ou igual ao segundo.
Passo 4
Resolver a desigualdade passo a passo (isolar
).
Primeiro, subtrair
dos dois lados (isso mantém a desigualdade porque é subtração do mesmo número em ambos os lados):
Simplificando os termos semelhantes:
Agora subtrair
dos dois lados:
Finalmente dividir ambos os lados por
. Como
, o sinal da desigualdade não se altera:
Calcular a fração:
Passo 5
Interpretação e checagem.
- Resultado:
. Isso significa que, para qualquer duração de festa até horas inclusive, Daniel não será mais caro que Ricardo. - Checagem no caso limite
: calcular os custos
Ambos dão
, portanto em
horas os custos são iguais; para
Daniel sai mais barato; para
Daniel fica mais caro.
Dica rápida para a prova: sempre defina a variável (aqui
), escreva as expressões de custo, e resolva a desigualdade linear isolando a variável com operações válidas (somar/subtrair e dividir por número positivo).