Ricardo trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de \mathrm{R} \ 500,00 , mais\mathrm{R} $60,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa deçã\mathrm{R} $ 350,00 , mais\mathrm{R} $85,00$ por hora. Determine o tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Ricardo.

Passo 1

O enunciado dá os preços cobrados por dois DJs e pede o tempo máximo de duração da festa para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Ricardo.
Informações fornecidas:
  • Ricardo cobra uma taxa fixa de \mathrm{R}\$\,500 mais \mathrm{R}\$\,60 por hora.
  • Daniel cobra uma taxa fixa de \mathrm{R}\$\,350 mais \mathrm{R}\$\,85 por hora.
O que o problema pede:
  • Determinar o tempo máximo de duração da festa (em horas) tal que o custo de Daniel não seja maior que o custo de Ricardo. Em linguagem matemática: achar o maior valor de t (horas) que satisfaz \text{custo\_Daniel} \le \text{custo\_Ricardo}.

Passo 2

Definir variável e montar as expressões de custo.
  • Seja t o tempo de duração da festa, em horas. Aqui t\ge 0.
  • Custo total de Ricardo: C_R = 500 + 60t.
Explanação: 500 é a taxa fixa em reais e 60t é o custo que cresce linearmente com t (cada hora soma 60 reais).
  • Custo total de Daniel: C_D = 350 + 85t.
Explanação: 350 é a taxa fixa de Daniel e 85t é o adicional por hora.
O objetivo é garantir C_D \le C_R.

Passo 3

Montar a desigualdade que representa “Daniel não ficar mais caro que Ricardo”.
350 + 85t \le 500 + 60t.
Explicação: colocou-se o custo de Daniel no lado esquerdo e o custo de Ricardo no direito, e exigiu-se que o primeiro seja menor ou igual ao segundo.

Passo 4

Resolver a desigualdade passo a passo (isolar t).
Primeiro, subtrair 60t dos dois lados (isso mantém a desigualdade porque é subtração do mesmo número em ambos os lados):
350 + 85t - 60t \le 500 + 60t - 60t.
Simplificando os termos semelhantes:
350 + 25t \le 500.
Agora subtrair 350 dos dois lados:
25t \le 150.
Finalmente dividir ambos os lados por 25. Como 25>0, o sinal da desigualdade não se altera:
t \le \frac{150}{25}.
Calcular a fração:
t \le 6.

Passo 5

Interpretação e checagem.
  • Resultado: t \le 6. Isso significa que, para qualquer duração de festa até 6 horas inclusive, Daniel não será mais caro que Ricardo.
  • Checagem no caso limite t=6: calcular os custos
C_R = 500 + 60\cdot 6 = 500 + 360 = 860,
C_D = 350 + 85\cdot 6 = 350 + 510 = 860.
Ambos dão \mathrm{R}\$\,860, portanto em 6 horas os custos são iguais; para t<6 Daniel sai mais barato; para t>6 Daniel fica mais caro.
Dica rápida para a prova: sempre defina a variável (aqui t), escreva as expressões de custo, e resolva a desigualdade linear isolando a variável com operações válidas (somar/subtrair e dividir por número positivo).

Resposta

6\\ \text{horas}

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