Uma indústria de produção de ácido cítrico por Aspergillus niger, em cultivo em superfície, determinou que para um mosto contendo sacarose na concentração de 140 gllitro, os resultados mais econômicos foram obtidos quando se trabalhava com a relação volume/superfície igual a
, o que conduzia a rendimentos da ordem de 0,483 (peso de ácido produzido por peso de açúcar consumido). Neste cálculo, levaram em conta que no final do processo, o volume do mosto havia sido reduzido a
do volume inicial. Considerando que ao final de 10 dias a sacarose estava toda consumida, calcule o número de bandejas necessárias para uma produção média de 60 toneladas por mês, em média.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a produção de ácido cítrico usando o fungo Aspergillus niger. Temos que trabalhar com uma solução que contém 140 g de sacarose por litro. Para obter os melhores resultados econômicos, usamos uma relação volume/superfície de
. O rendimento desse processo é de 0,483, ou seja, para cada grama de açúcar consumido, produzimos 0,483 gramas de ácido cítrico. Também sabemos que, ao final do processo, o volume do mosto diminui para 87% do volume inicial. Por fim, precisamos calcular quantas bandejas são necessárias para produzir, em média, 60 toneladas de ácido cítrico por mês, considerando que todo o açúcar é consumido em 10 dias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o rendimento. O rendimento $ R $ é a relação entre o peso de ácido produzido ($ P_{ácido}
P_{açúcar} $):
Dado que $ R = 0,483 $, podemos relacionar os pesos de ácido e açúcar.
Passo 3
Precisamos calcular a quantidade de açúcar consumido para produzir 60 toneladas de ácido cítrico por mês. Primeiro, convertemos toneladas para gramas:
Usando o rendimento:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume inicial do mosto necessário para fornecer essa quantidade de sacarose. Sabemos que a concentração de sacarose é de 140 g/l. Assim:
Convertendo para decímetros cúbicos (
):
Passo 5
Considerando que ao final do processo o volume do mosto é reduzido a 87% do volume inicial, o volume final é:
Passo 6
Sabemos que o processo leva 10 dias para consumir toda a sacarose. Como um mês tem aproximadamente 30 dias, teremos 3 ciclos de produção por mês.
Portanto, a produção mensal total é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o volume total necessário por mês:
Passo 8
A relação volume/superfície é
. Isso significa que para cada
de volume, precisamos de
de superfície.
Assim, a área total necessária é:
Passo 9
Agora, precisamos determinar o número de bandejas. Supondo que cada bandeja tenha uma área específica $ A_{bandeja} $, o número de bandejas $ N $ é:
Mas como a área de cada bandeja não foi fornecida, podemos considerar que cada bandeja tem a mesma área padrão. Se, por exemplo, cada bandeja tem
, então:
Arredondando, seriam necessárias aproximadamente 1.268 bandejas.
Resposta
Seriam necessárias cerca de 1.268 bandejas para uma produção média de 60 toneladas de ácido cítrico por mês.