Na produção de doce de leite, 50 Kg de leite padronizado em
de gordura (sólidos totais no leite:
) são misturados a 9 Kg de açúcar (
sólidos totais) em um evaporador aberto, onde é feita a concentração da mistura até que o produto final possua teor de sólidos totais
. Determine a massa final de doce de leite produzida, a massa de água evaporada e o teor de gordura no doce.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos 50 kg de leite com 3% de gordura e 13% de sólidos totais, que são misturados com 9 kg de açúcar puro (100% de sólidos). Essa mistura é evaporada até obter um doce de leite com 67% de sólidos totais. Precisamos descobrir:
- A massa final do doce de leite produzido.
- A massa de água evaporada durante o processo.
- O teor de gordura no doce de leite final.
Para resolver, vamos usar conceitos de balanço de massa, que nos ajudam a contabilizar os componentes na mistura e no produto final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes principais:
-
Leite:
- Massa total: 50 kg
- Gordura: 3% de 50 kg = $ 0,03 \times 50 = 1,5 $ kg
- Sólidos totais: 13% de 50 kg = $ 0,13 \times 50 = 6,5 $ kg
- Água no leite: Massa total - Sólidos totais = $ 50 - 6,5 = 43,5 $ kg
-
Açúcar:
- Massa total: 9 kg
- Sólidos totais: 100% de 9 kg = 9 kg
- Água no açúcar: 0 kg
Passo 3
Agora, vamos somar as massas dos componentes na mistura inicial:
- Total de gorduras: 1,5 kg (do leite)
- Total de sólidos totais: 6,5 kg (do leite) + 9 kg (do açúcar) = 15,5 kg
- Total de água: 43,5 kg (do leite)
A massa total da mistura inicial é:
Passo 4
Durante a evaporação, somente a água é removida. Portanto, a quantidade de gorduras e sólidos totais permanece a mesma no produto final. Vamos chamar de $ M $ a massa final do doce de leite.
Sabemos que no doce final:
- Sólidos totais: 67% de $ M $ = $ 0,67M $
E os sólidos totais na mistura inicial eram 15,5 kg. Como não há adição ou remoção de sólidos durante a evaporação:
Passo 5
Vamos encontrar a massa final $ M $:
Arredondando, a massa final do doce de leite é aproximadamente 23,13 kg.
Passo 6
Agora, vamos calcular a massa de água evaporada. Inicialmente, tínhamos 43,5 kg de água na mistura. No produto final, a massa total é 23,13 kg com 67% de sólidos, então:
- Água no produto final: $ 23,13 \times (1 - 0,67) = 23,13 \times 0,33 \approx 7,63 $ kg
Portanto, a água evaporada é:
Passo 7
Por fim, vamos determinar o teor de gordura no doce de leite. Sabemos que a massa de gordura não se altera durante a evaporação, permanecendo em 1,5 kg.
Então, o teor de gordura no produto final é:
Arredondando, o teor de gordura no doce de leite é aproximadamente 6,49%.
Resposta
A massa final de doce de leite produzida é de aproximadamente 23,13 kg, a massa de água evaporada foi de cerca de 35,87 kg, e o teor de gordura no doce de leite final é de aproximadamente 6,49 %.