Uma indústria que produz camisetas tem a seguinte função de produção: y=100 L^0,5 K^0,5, em que L e o número de funcionários empregados por semana e K é o número de máquinas utilizadas por semana. O custo de uma unidade de trabalho ( w1) é de 400 por semana e o custo de uso uma máquina (á\mathrm{w}_{2} ) é de é\ 1.600 por semana. Uma fábrica com capacidade de produção de 100.000 camisetas por semana deverá contratar 2000 funcionários (L) e 500 máquinas (K) para minimizar o custo total.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que produz camisetas com a função de produção:
Aqui, representa o número de funcionários por semana e o número de máquinas usadas por semana. O custo de cada funcionário é $400 por semana ( ) e cada máquina custa $1.600 por semana ( ). A fábrica precisa produzir 100.000 camisetas por semana e queremos descobrir quantos funcionários ( ) e máquinas ( ) contratar para minimizar o custo total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de produção:
y = 100 , L^0,5 , K^0,5
Isso significa que a produção ( y ) depende da quantidade de funcionários ( L ) e máquinas ( K ) utilizados. O expoente 0,5 indica que temos retornos de escala constantes e que L e K são substitutos perfeitos na produção.

Passo 3

Queremos produzir 100.000 camisetas por semana. Vamos igualar a função de produção a esse valor:
100 , L^0,5 , K^0,5 = 100.000
Dividindo ambos os lados por 100:
L^0,5 , K^0,5 = 1.000
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
L , K = 1.000.000

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo total ( C ) que queremos minimizar. A fórmula do custo total é:
C = w1 , L + w2 , K
Substituindo os valores dados:
C = 400 , L + 1600 , K

Passo 5

Nosso objetivo é minimizar C = 400L + 1600K sujeito à restrição L , K = 1.000.000 . Para isso, podemos usar a relação de que, para minimizar o custo, o custo marginal por unidade de produto deve ser igual em L e K .
Isso nos leva à seguinte relação:
w1w2 = KL
Substituindo os valores de w1 e w2 :
4001600 = KL
Simplificando:
14 = KL
Então:
K = L4

Passo 6

Agora, substituímos K = L4 na restrição L , K = 1.000.000 :
L ( L4 ) = 1.000.000
Isso simplifica para:
L^24 = 1.000.000
Multiplicando ambos os lados por 4:
L^2 = 4.000.000
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
L = 2.000

Passo 7

Agora que encontramos L = 2.000 , usamos a relação K = L4 para encontrar K :
K = 2.0004 = 500

Resposta

Para minimizar o custo total e produzir 100.000 camisetas por semana, a fábrica deve contratar 2.000 funcionários (L) e utilizar 500 máquinas (K).

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