Uma indústria que produz camisetas tem a seguinte função de produção:
, em que L e o número de funcionários empregados por semana e K é o número de máquinas utilizadas por semana. O custo de uma unidade de trabalho (
) é de
400
\mathrm{w}_{2}
\
por semana. Uma fábrica com capacidade de produção de 100.000 camisetas por semana deverá contratar 2000 funcionários (L) e 500 máquinas (K) para minimizar o custo total.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que produz camisetas com a função de produção:
Aqui,
representa o número de funcionários por semana e
o número de máquinas usadas por semana. O custo de cada funcionário é $400 por semana (
) e cada máquina custa $1.600 por semana (
). A fábrica precisa produzir 100.000 camisetas por semana e queremos descobrir quantos funcionários (
) e máquinas (
) contratar para minimizar o custo total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de produção:
Isso significa que a produção (
) depende da quantidade de funcionários (
) e máquinas (
) utilizados. O expoente 0,5 indica que temos retornos de escala constantes e que
e
são substitutos perfeitos na produção.
Passo 3
Queremos produzir 100.000 camisetas por semana. Vamos igualar a função de produção a esse valor:
Dividindo ambos os lados por 100:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 4
Agora, vamos calcular o custo total (
) que queremos minimizar. A fórmula do custo total é:
Substituindo os valores dados:
Passo 5
Nosso objetivo é minimizar
sujeito à restrição
. Para isso, podemos usar a relação de que, para minimizar o custo, o custo marginal por unidade de produto deve ser igual em
e
.
Isso nos leva à seguinte relação:
Substituindo os valores de
e
:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos
na restrição
:
Isso simplifica para:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 7
Agora que encontramos
, usamos a relação
para encontrar
:
Resposta
Para minimizar o custo total e produzir 100.000 camisetas por semana, a fábrica deve contratar 2.000 funcionários (L) e utilizar 500 máquinas (K).