Você é gerente de uma fábrica que produz motores por meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A tecnologia pode ser resumida pela função de produção: , onde q é o número de motores produzidos por semana, L é o número de equipes de trabalho e K , o número de máquinas. Cada máquina é alugada ao custo, , de 20.000 w_{2}=\, então a produção de máximo lucro será de 40 motores por semana.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. Você é gerente de uma fábrica que produz motores usando equipes de trabalho e máquinas de montagem. A gente vai precisar usar conceitos de função de produção, custos fixos e variáveis, além de maximização de lucro. Basicamente, vamos calcular quantos motores você deve produzir por semana para maximizar o lucro, dado o preço de venda e os custos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de produção que é dada por:
q = L^0,5 cdot K
Aqui, q é o número de motores produzidos por semana, L é o número de equipes de trabalho, e K é o número de máquinas.
Essa função nos mostra como as entradas (equipes e máquinas) se transformam em produção.

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo total (CT) de produção. O custo total é a soma do custo das máquinas, das equipes de trabalho e das matérias-primas.
Cada máquina custa w1 = 20.000 $ por semana, e como temos 10 máquinas fixas, o custo das máquinas é:
por semana, e como temos 10 máquinas fixas, o custo das máquinas é: á
Cada equipe custa Cmáquinas = w1 cdot K = 20.000 cdot 10 = 20.000 $ por semana. Então, o custo das equipes é:
Cada equipe custa $ w2 = $20.000 $ por semana Então, o custo das equipes é:
Além disso, temos um custo variável de Além disso, temos um custo variável de $ $4.000 $ por motor produzido: 4.000 $ por motor produzido:
Portanto, o custo total fica: é
Portanto, o custo total fica:

Passo 4

O lucro (π) é calculado pela diferença entre a receita total (RT) e o custo total (CT). A receita total é o preço de venda por motor multiplicado pela quantidade vendida:
RT = P cdot q = 20.000 cdot q
Então, o lucro é:
pi = RT - CT = 20.000 cdot q - (200.000 + 20.000 cdot L + 4.000 cdot q)
Simplificando:
pi = 20.000q - 200.000 - 20.000L - 4.000q = 16.000q - 20.000L - 200.000

Passo 5

Para maximizar o lucro, precisamos relacionar L e q usando a função de produção. Da função de produção:
q = L^0,5 cdot K
Sabemos que K = 10 , então:
q = L^0,5 cdot 10 Rightarrow L^0,5 = q10 Rightarrow L = ( q10 )^2 = q^2100

Passo 6

Vamos substituir L na função de lucro:
pi = 16.000q - 20.000 cdot ( q^2100 ) - 200.000
Simplificando:
pi = 16.000q - 200q^2 - 200.000

Passo 7

Para encontrar o ponto onde o lucro é máximo, derivamos a função lucro em relação a q e igualamos a zero:
dpidq = 16.000 - 400q = 0
Resolvendo para q :
16.000 - 400q = 0 Rightarrow 400q = 16.000 Rightarrow q = 16.000400 = 40

Resposta

40 motores por semana.

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