Você é gerente de uma fábrica que produz motores por meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A tecnologia pode ser resumida pela função de produção:
, onde q é o número de motores produzidos por semana, L é o número de equipes de trabalho e K , o número de máquinas. Cada máquina é alugada ao custo,
, de
20.000
w_{2}=\, então a produção de máximo lucro será de 40 motores por semana.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. Você é gerente de uma fábrica que produz motores usando equipes de trabalho e máquinas de montagem. A gente vai precisar usar conceitos de função de produção, custos fixos e variáveis, além de maximização de lucro. Basicamente, vamos calcular quantos motores você deve produzir por semana para maximizar o lucro, dado o preço de venda e os custos envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de produção que é dada por:
Aqui,
é o número de motores produzidos por semana,
é o número de equipes de trabalho, e
é o número de máquinas.
Essa função nos mostra como as entradas (equipes e máquinas) se transformam em produção.
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo total (CT) de produção. O custo total é a soma do custo das máquinas, das equipes de trabalho e das matérias-primas.
Cada máquina custa
20.000 $ por semana, e como temos 10 máquinas fixas, o custo das máquinas é:
Cada equipe custa
20.000 $ por semana. Então, o custo das equipes é:
Além disso, temos um custo variável de
4.000 $ por motor produzido:
Portanto, o custo total fica:
Passo 4
O lucro (π) é calculado pela diferença entre a receita total (RT) e o custo total (CT). A receita total é o preço de venda por motor multiplicado pela quantidade vendida:
Então, o lucro é:
Simplificando:
Passo 5
Para maximizar o lucro, precisamos relacionar
e
usando a função de produção. Da função de produção:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Vamos substituir
na função de lucro:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o ponto onde o lucro é máximo, derivamos a função lucro em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Resposta
40 motores por semana.