Use as definições
senh x=e^x-e^-x2 cossech x=e^x+e^-x2
e a série Maclaurin de e^x para mostrar que
cossech x=sumn=0^infty x^2 n(2 n)!

Passo 1

O enunciado dá as definições
senhx = e^x-e^-x2 e
cossechx = e^x+e^-x2,
e pede a expansão de Maclaurin de cossechx.
Para isso, vamos usar a série de Maclaurin de e^x:
e^x = sumn=0^infty x^nn!

Passo 2

Escrevemos também a série de e^-x substituindo x por -x:
e^-x = sumn=0^infty (-x)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n,x^nn!

Passo 3

Somamos as duas séries termo a termo:
e^x + e^-x = sumn=0^infty x^nn! + sumn=0^infty (-1)^n,x^nn! = sumn=0^infty 1 + (-1)^nn!,x^n
Repare que 1 + (-1)^n = 0 se n é ímpar e 2 se n é par. Logo só permanecem os termos de n=2k.

Passo 4

Tomando n=2k,
e^x + e^-x = sumk=0^infty 2,x^2k(2k)! Longrightarrow cossechx = e^x+e^-x2 = sumk=0^infty x^2k(2k)!

Resposta

cossechx = sumn=0^infty x^2n(2n)!

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