Em uma indústria química, 500 técnicos são responsáveis por conduzir reações controladas em escala piloto. Para avaliar a eficiência do novo protocolo de aquecimento, 25 técnicos foram selecionados para realizar uma reação padrão. O tempo de conclusão da reação (em minutos) segue uma distribuição Normal, com desvio padrão conhecido de 2 minutos. Os tempos registrados pelos técnicos foram os seguintes: 5.8 ; 5.5 ; 5.8 ; 7.2 ; 8.5 ; 8.8 ; 8.3 ; 6.5 ; 10.3 ; 9.3 ; 9.0 ; 11.3 ; 11.5 ; 9.5 ; 5.5 ; 11.7 ; 12.7 ; 8.5; 10.0 e 10.7. Sabe-se por experiência da empresa que o tempo médio de reação para esse procedimento é de 8 minutos. Verifique se essa afirmação é compatível com os dados observados, ao nível de significância de 2 \%.

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipóteses para a média de uma população Normal com desvio padrão conhecido \sigma=2. A empresa afirma que o tempo médio é \mu_0=8 minutos. Selecionaram técnicos para medir o tempo de reação e forneceram os seguintes 20 registros (apesar de o enunciado mencionar 25 técnicos, só há 20 valores):
5,8; 5,5; 5,8; 7,2; 8,5; 8,8; 8,3; 6,5; 10,3; 9,3; 9,0; 11,3; 11,5; 9,5; 5,5; 11,7; 12,7; 8,5; 10,0; 10,7.
Vamos testar
H_0: \mu = 8 \quad\text{versus}\quad H_1: \mu \neq 8
ao nível de significância \alpha=0{,}02, usando o teste Z com estatística
Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar X. Somando os tempos:
\sum_{i=1}^{20} x_i = 176{,}4,
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\bar X = \frac{176{,}4}{20} = 8{,}82.

Passo 3

Substituir em Z. Aqui n=20 e \sigma=2, então
Z = \frac{8{,}82 - 8}{2/\sqrt{20}} = \frac{0{,}82}{2/4{,}4721} \approx \frac{0{,}82}{0{,}4472} \approx 1{,}83.

Passo 4

Como o teste é bilateral com \alpha=0{,}02, cada cauda tem área 0{,}01. O valor crítico é
z_{1-\alpha/2} = z_{0{,}99} \approx 2{,}326.
A região de rejeição é \{|Z| > 2{,}326\}. Como |1{,}83| < 2{,}326, não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência suficiente, ao nível de 2\%, para rejeitar a afirmação de que o tempo médio é 8 minutos. A afirmação da empresa é compatível com os dados observados.

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