Uma indústria química moderniza sua unidade de resfriamento, substituindo o trocador de calor principal. A nova configuração exige uma vazão maior de fluido refrigerante, porém com menor perda de carga total na linha. O engenheiro responsável
decide avaliar se uma bomba centrífuga, antes usada em um circuito secundário, pode ser reaproveitada na linha principal, sem novos testes, utilizando a similitude hidráulica.
A bomba foi ensaiada anteriormente (água, \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e seus parâmetros são conhecidos: D_{A}=0.27 \mathrm{~m}, n_{A}=2900 \mathrm{rpm}, Q_{A}=0.04 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, H_{A}=22 \mathrm{~m}, P_{A}=16.8 \mathrm{~kW}.
Agora ela será instalada em outro ponto do sistema, onde o motor disponível tem rotação fixa de 1750 rpm , e a rede requer aproximadamente metade da altura manométrica original, mas vazão maior.
  1. Admitindo semelhança hidráulica completa (mesma geometria e mesmo regime de escoamento), determine: a) a nova vazão e a nova altura quando a bomba operar a 1750 rpm .
  2. Verifique se o novo ponto de operação é coerente com a meta de “metade da altura original”.

Passo 1

Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
D_{A}=0{,}27\\ \mathrm{m},\quad n_{A}=2900\\ \mathrm{rpm},\quad Q_{A}=0{,}04\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
H_{A}=22\\ \mathrm{m},\quad P_{A}=16{,}8\\ \mathrm{kW}.
Nova instalação (dados do enunciado):
n_{B}=1750\\ \mathrm{rpm}.
Pedidos (o que o problema pergunta):
  1. Admitindo similitude hidráulica completa, determinar a) a nova vazão \;Q_B\; e a nova altura manométrica \;H_B\; quando a bomba operar a \;1750\\ \mathrm{rpm}.
  2. Verificar se esse novo ponto de operação é coerente com a meta de “metade da altura original” (ou seja, comparar \;H_B\; com \;H_A/2).

Passo 2

Princípio usado: leis de afinidade (similitude hidráulica) para bombas centrífugas. Vou explicar por que elas valem e o que cada coisa significa, bem devagarinho.
  • Pense na velocidade periférica do rotor (velocidade de ponta) U. Ela escala com a rotação e o diâmetro:
U \propto nD.
Aqui n é a rotação (em rpm, mas usamos proporção) e D é o diâmetro do rotor.
  • Vazão volumétrica Q é velocidade característica vezes área característica. A área característica escala como D^2, então
Q \propto U\cdot D^2 \quad\Rightarrow\quad Q \propto nD^3.
Significado das variáveis:
  • Q: vazão volumétrica ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
  • n: rotação ( \mathrm{rpm}).
  • D: diâmetro do rotor ( \mathrm{m}).
  • A altura manométrica H (energia por unidade de peso, em metros) vem associada a velocidades ao quadrado (energia cinética), logo
H \propto U^2 \quad\Rightarrow\quad H \propto n^2 D^2.
  • A potência hidráulica P é \rho g Q H, então juntando as dependências:
P \propto \rho\, n^3 D^5.
Aqui \rho é a densidade do fluido e g a gravidade.
No nosso caso a mesma bomba (mesmo rotor) será reaproveitada, logo D_B=D_A. Assim as leis simplificadas entre os pontos A e B ficam:
\frac{Q_B}{Q_A}=\frac{n_B}{n_A},
\frac{H_B}{H_A}=\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^2,
\frac{P_B}{P_A}=\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^3 \quad\text{(apenas para referência)}.ê
Essas fórmulas são fundamentais: a vazão escala linearmente com n, a altura com n^2, a potência com n^3. Importante: isso pressupõe geometria idêntica e mesmo regime de escoamento (similitude), e que a fluido não mudou de forma a violar a semelhança (se a densidade mudar, o H normalmente não muda por densidade, mas a potência sim — não precisamos do P aqui).

Passo 3

Calcular a razão de rotações k:
k=\frac{n_B}{n_A}=\frac{1750}{2900}.
Simplificando a fração:
\frac{1750}{2900}=\frac{35}{58}.
Converter para decimal (para calcular números finais):
k\approx 0{,}6034482759.

Passo 4

Calcular a nova vazão \;Q_B\; usando \;Q_B=Q_A\cdot k\;.
Q_B = 0{,}04\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\times 0{,}6034482759.
Fazendo a multiplicação:
Q_B \approx 0{,}0241379310\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Arredondando de forma prática para a prova (4 algarismos significativos):
Q_B \approx 0{,}02414\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 5

Calcular a nova altura \;H_B\; usando \;H_B=H_A\cdot k^2\;.
Primeiro calcular k^2:
k^2=\left(\frac{35}{58}\right)^2=\frac{1225}{3364}\approx 0{,}364148.
Agora
H_B = 22\\ \mathrm{m}\times 0{,}364148\approx 8{,}01126\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática:
H_B \approx 8{,}01\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comparar \;H_B\; com “metade da altura original” \;H_A/2:
H_A/2 = \frac{22\\ \mathrm{m}}{2}=11\\ \mathrm{m}.
Temos \;H_B\approx 8{,}01\\ \mathrm{m}, que é menor que 11\\ \mathrm{m}. Portanto o novo ponto de operação NÃO é coerente com a meta de obter aproximadamente metade da altura original — a bomba, a 1750 rpm, fornece uma altura bastante menor que a metade.
Complemento útil (para intuição e resposta na prova): para obter exatamente metade da altura, a rotação necessária seria
n_{\text{req}}=n_A\sqrt{\frac{H_{\text{meta}}}{H_A}}=n_A\sqrt{\frac{1}{2}}=2900\cdot\sqrt{0{,}5}\approx 2900\cdot 0{,}70710678\approx 2050\\ \mathrm{rpm}.
Ou seja, seria preciso um motor de cerca de 2050\\ \mathrm{rpm}. Como o motor disponível é 1750\\ \mathrm{rpm}, fica abaixo do necessário.

Passo 7

Recapitulando com um pitaco amigo: reduzir a rotação corta a vazão quase na mesma proporção (aqui caiu de 0{,}04 para 0{,}02414\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) e corta a altura mais fortemente (proporção quadrática — aqui de 22 para 8{,}01\\ \mathrm{m}). Por isso a bomba a 1750\\ \mathrm{rpm} não alcança os 11\\ \mathrm{m} desejados.

Resposta

Q_B \approx 0{,}02414\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\quad H_B \approx 8{,}01\\ \mathrm{m}.
Não — H_B é menor que H_A/2=11\\ \mathrm{m}. Para obter metade da altura seria necessário aproximadamente n\approx 2050\\ \mathrm{rpm}.

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