Em um data center modular, opera-se um circuito fechado de resfriamento com água tratada. Para ampliar a capacidade térmica do sistema, a equipe de engenharia decidiu substituir o fluido por uma mistura de água e etilenoglicol a 35 \%, cuja densidade é aproximadamente 1050 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A carcaça e o rotor da bomba permanecerão inalterados, sendo permitido apenas o ajuste da rotação do eixo por meio de um inversor de frequência. No ensaio de referência realizado no módulo piloto, com água pura ( \rho=998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ), a bomba - equipada com rotor de 0,24 \mathrm{~m} de diâmetro - operava a 1750 rpm , fornecendo uma vazão de 0,038 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, uma altura manométrica de 18 m e uma potência de eixo de 14 kW .
A meta térmica do sistema estabelece uma altura requerida de 19,5 m e uma vazão 6% superior à de referência.
(a) Determine a nova rotação de operação da bomba necessária para atender simultaneamente à vazão e à altura manométrica requeridas, assumindo semelhança hidráulica completa
(b) Estime a potência de eixo correspondente ao novo ponto de operação, considerando a mudança de densidade do fluido
(c) O inversor de frequência e o alimentador elétrico da unidade possuem limite máximo de 18 kW . Verifique se o novo ponto de operação é viável com essa limitação de potência.
(d) Caso a potência requerida ultrapassasse o limite de 18 kW , recalcule a rotação máxima permitida e determine a vazão e altura correspondentes, mantendo a semelhança.

Passo 1

Dados do enunciado (vou listar tudo com calma para não nos perder):
\begin{aligned} &\text{Fluido de referência: água:}\quad \rho_1 = 998\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{Mistura nova: água + etilenoglicol 35\%:}\quad \rho_2 = 1050\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{Diâmetro do rotor (permanece):}\quad D = 0{,}24\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Referência (índice 1):}\quad n_1 = 1750\\ \mathrm{rpm},\\\ &\qquad Q_1 = 0{,}038\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\qquad H_1 = 18\\ \mathrm{m}\\ (\text{altura manométrica}),\\\ &\qquad P_1 = 14\\ \mathrm{kW}\\ (\text{potência de eixo}).\\\ &\text{Requisitos térmicos:}\quad H_{\mathrm{req}} = 19{,}5\\ \mathrm{m},\quad Q_{\mathrm{req}} = 1{,}06\,Q_1 = 0{,}038\cdot1{,}06 = 0{,}04028\\ \mathrm{m^3/s}.\\\ &\text{Só podemos ajustar a rotação } n \text{ via inversor; carcaça e rotor inalterados.} \end{aligned}êááâêíéêéóçãç

Passo 2

Conceito e leis de semelhança hidráulica (as famosas leis de afinidade) — vou explicar devagar e com intuição:
  • Quando a geometria da bomba é fixa (mesmo diâmetro D e mesmo perfil do rotor), e nós só mudamos a rotação n, as grandezas essenciais escalam com potências de n. As relações necessárias são:
\text{Vazão:}\quad Q \propto n D^{3}.ã
Aqui a ideia física: a velocidade periférica do rotor cresce com nD, e a área característica escala com D^2, então Q\sim (nD)\cdot D^2 = nD^3.
\text{Altura (head):}\quad H \propto (nD)^{2}.
Isso vem de H ser proporcional à energia específica por unidade de massa, que escala com a velocidade ao quadrado.
\text{Potência de eixo:}\quad P \propto \rho\, n^{3} D^{5}.ê
Isto porque potência é vazão vezes pressão; pressão típica escala como \rho (nD)^2 e vazão como nD^3, daí P\sim \rho (nD)^2(nD^3)=\rho n^3 D^5.
  • No nosso caso D é constante, então as formas úteis são:
Q\propto n,\qquad H\propto n^{2},\qquad P\propto \rho\, n^{3}.
Explico os símbolos:
Q = vazão volumétrica (m³/s), H = altura manométrica em metros (m), P = potência de eixo (W ou kW), \rho = densidade (kg/m³), n = rotação (rpm).

Passo 3

Transformando as proporções em fórmulas de escala entre estado 1 (referência) e estado 2 (novo):
definimos o fator de velocidade
k=\frac{n_2}{n_1}.
Então:
Q_2 = k\,Q_1,
H_2 = k^{2}\,H_1,
P_2 = P_1\cdot\frac{\rho_2}{\rho_1}\cdot k^{3}.
Vou usar essas três equações para responder as perguntas.

Passo 4

Determinar a rotação necessária para atender simultaneamente à vazão e à altura requeridas — interpretação e cálculo:
  • O requisito de vazão pede Q_2 = 1{,}06\,Q_1. Isso implica
k = \frac{Q_2}{Q_1} = 1{,}06.
Logo, a rotação necessária para obter essa vazão é
n_2 = k\,n_1 = 1{,}06\cdot 1750 = 1855\\ \mathrm{rpm}.
  • Verificação da altura correspondente a essa rotação:
H_2 = k^{2} H_1 = 1{,}06^{2}\cdot 18 = 1{,}1236\cdot 18 = 20{,}2248\\ \mathrm{m}.
Compare com a altura requerida H_{\mathrm{req}}=19{,}5\\ \mathrm{m}: obtemos H_2 = 20{,}2248\\ \mathrm{m} > 19{,}5\\ \mathrm{m}. Portanto, ao escolher a rotação que garante a vazão exigida, a altura produzida é maior que a requerida — isto é aceitável se a especificação de altura for um mínimo (isto normalmente é o caso: precisa-se de pelo menos certa altura para vencer perdas). Se a especificação exigisse exatamente 19{,}5\\ \mathrm{m}, não seria possível simultaneamente cumprir exatamente Q e H apenas variando n, porque para similaridade temos H\propto Q^{2} e os Q_{\mathrm{req}} e H_{\mathrm{req}} dados não satisfazem exatamente essa relação; eu verifiquei isso mostrando que
\frac{H_{\mathrm{req}}}{H_1} = \frac{19{,}5}{18} = 1{,}08333\quad\text{e}\quad\left(\frac{Q_{\mathrm{req}}}{Q_1}\right)^2 = 1{,}06^2 = 1{,}1236,
que são diferentes. Logo, só se aceitarmos H\ge 19{,}5\\ \mathrm{m} poderemos usar n_2=1855\\ \mathrm{rpm}. Concluímos, portanto, que a rotação indicada é
\boxed{n_2 = 1855\\ \mathrm{rpm}.}

Passo 5

Estimar a potência de eixo correspondente ao novo ponto (considerando a mudança de densidade):
Usamos a fórmula de escala para potência:
P_2 = P_1\cdot\frac{\rho_2}{\rho_1}\cdot k^{3}.
Substituindo valores:
k^{3} = 1{,}06^{3} = 1{,}191016,
\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1050}{998} \approx 1{,}0521042.
Produto dos fatores:
\frac{\rho_2}{\rho_1}\,k^{3} \approx 1{,}0521042\cdot 1{,}191016 \approx 1{,}25307.
Portanto
P_2 \approx 14\\ \mathrm{kW}\cdot 1{,}25307 \approx 17{,}54298\\ \mathrm{kW}.
Arredondando de forma razoável:
\boxed{P_2 \approx 17{,}54\\ \mathrm{kW}.}

Passo 6

Verificar se o novo ponto é viável com o limite de 18\\ \mathrm{kW}:
  • Comparação direta: P_2 \approx 17{,}54\\ \mathrm{kW} < 18\\ \mathrm{kW}.
  • Conclusão: o ponto de operação com n_2=1855\\ \mathrm{rpm} e o fluido mais denso é viável dentro do limite de alimentação e do inversor. Portanto não é necessário reduzir rotação por limite de potência.

Passo 7

Caso a potência requerida ultrapassasse 18\\ \mathrm{kW} — procedimento (não necessário aqui, mas explico como fazer):
  • Se tivéssemos P_2 > 18\\ \mathrm{kW}, para achar a rotação máxima permitida n_{\max} tal que P(n_{\max})=18\\ \mathrm{kW}, partiríamos de
18 = P_1\cdot\frac{\rho_2}{\rho_1}\cdot\left(\frac{n_{\max}}{n_1}\right)^{3}.
Resolveríamos para n_{\max}:
\frac{n_{\max}}{n_1} = \left(\frac{18}{P_1}\cdot\frac{\rho_1}{\rho_2}\right)^{1/3},
e então calcularíamos Q_{\max}=k_{\max}Q_1 e H_{\max}=k_{\max}^2 H_1 com k_{\max}=n_{\max}/n_1. No nosso caso isso não é necessário porque P_2<18\\ \mathrm{kW}.

Resposta

(a) n_2 = 1855\\ \mathrm{rpm}
(b) P_2 \approx 17{,}54\\ \mathrm{kW}
(c) Sim — o novo ponto é viável, pois P_2 \approx 17{,}54\\ \mathrm{kW} < 18\\ \mathrm{kW}
(d) Não aplicável (a potência requerida não ultrapassa 18\\ \mathrm{kW}; logo não foi preciso reduzir a rotação)

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