Uma plataforma offshore está em processo de ampliação da sua rede de combate a incêndio, a fim de atender uma nova área do helideck. O corpo técnico optou por empregar uma bomba centrífuga geometricamente semelhante àquela atualmente instalada no skid principal, aproveitando peças sobressalentes e o know-how de manutenção existente.
A bomba atualmente em operação, designada Bomba A, trabalha com água do mar (densidade aproximada de 1030 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e possui rotor de 0,28 \mathrm{~m} de diâmetro, operando a 2950 rpm . Em condições de regime permanente, fornece uma vazão de 0,055 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, \mathrm{com} altura manométrica de 26 m e potência de eixo de 28 kW .
Para a nova unidade, denominada Bomba B, pretende-se utilizar um rotor geometricamente similar, porém de diâmetro maior, igual a 0,36 \mathrm{~m}. O sistema contará com o mesmo fluido e as mesmas características de sucção e recalque, mas a potência máxima disponível no motor de acionamento é de 48 kW
Sabendo que ambas as bombas são geometricamente semelhantes, e considerando válidas as relações de semelhança hidráulica, pede-se:
(a) Determinar a rotação de operação da Bomba B para uma mesma velocidade tangencial de rotor ( u_{A}=u_{B} ).
(b) Estimar a vazão, a altura manométrica e a potência de eixo esperadas para a Bomba B nessa rotação.
(c) Verificar se o motor de 48 kW é suficiente para operar a nova bomba em regime semelhante ao da bomba atual.

Passo 1

O enunciado pede que a gente faça três coisas: (a) calcular a rotação de operação da Bomba B para que a velocidade tangencial do rotor seja a mesma da Bomba A; (b) estimar a vazão, a altura manométrica e a potência de eixo da Bomba B nessa rotação; (c) verificar se o motor de 48\\ \mathrm{kW} é suficiente para operar a Bomba B em regime semelhante ao da Bomba A.
Dados fornecidos (pegar do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Densidade do fluido: }\rho = 1030\\ \mathrm{kg/m^3} \\\ &\text{Bomba A: }D_A = 0{,}28\\ \mathrm{m},\quad n_A = 2950\\ \mathrm{rpm},\\\ &\qquad Q_A = 0{,}055\\ \mathrm{m^3/s},\quad H_A = 26\\ \mathrm{m},\quad P_{A,\text{eixo}} = 28\\ \mathrm{kW}.\\\ &\text{Bomba B: }D_B = 0{,}36\\ \mathrm{m},\quad \text{motor disponível }P_{\text{motor}} = 48\\ \mathrm{kW}.\\\ &\text{Ambas são geometricamente semelhantes; mesmo fluido e mesmas condições de sucção/recalque.} \end{aligned}íãçõçã

Passo 2

Entendendo o que significa “mesma velocidade tangencial de rotor” e a relação para n.
A velocidade tangencial no perímetro do rotor (velocidade de ponta) é dada por
u = \omega R,
onde \omega é a velocidade angular em rad/s e R é o raio do rotor. Como \omega = 2\pi n/60 (com n em rpm) e R = D/2, obtemos a fórmula prática
u = \frac{\pi D n}{60}.
Aqui:
  • u é a velocidade tangencial da ponta (m/s),
  • D é o diâmetro do rotor (m),
  • n é a rotação (rpm).
Igualando u_A = u_B e cancelando os fatores comuns temos
\frac{\pi D_A n_A}{60}=\frac{\pi D_B n_B}{60}\quad\Rightarrow\quad D_A n_A = D_B n_B.
Daí a rotação necessária para a Bomba B é
n_B = n_A\frac{D_A}{D_B}.
Agora aplicamos numericamente:
n_B = 2950\cdot\frac{0{,}28}{0{,}36}.
Fazendo a conta:
\frac{0{,}28}{0{,}36}=0{,}777777\ldots
n_B \approx 2950\cdot 0{,}777777\ldots \approx 2296{,}11\\ \mathrm{rpm}.

Passo 3

Explicando as leis de semelhança (leis de afinidade) e como vão nos permitir estimar Q, H e P.
Para bombas geometricamente semelhantes e mesmo fluido, as grandezas características escalam assim (relação de afinidade):
Q\propto nD^{3},\qquad H\propto n^{2}D^{2},\qquad P\propto \rho\,n^{3}D^{5}.
Intuição rápida:
  • Vazão Q é velocidade característica vezes área: Q\sim u\cdot D^{2} e u\sim nD então Q\sim nD^{3}.
  • Altura H é proporcional à energia por unidade de massa ~ u^{2}/g, logo H\sim (nD)^{2}.
  • Potência P é ~ \rho g Q H, combinando os dois anteriores dá P\sim \rho n^{3}D^{5} (ou, se \rho constante, P\propto n^{3}D^{5}).
Usaremos essas leis para comparar B com A:
\frac{Q_B}{Q_A}=\frac{n_B}{n_A}\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{3},
\frac{H_B}{H_A}=\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^{2}\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{2},
\frac{P_B}{P_A}=\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^{3}\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{5}.
Como já temos a condição n_B/n_A = D_A/D_B (pela igualdade de u), podemos simplificar essas razões substituindo n_B/n_A por D_A/D_B. Fazendo as contas algébricas:
Para a vazão:
\frac{Q_B}{Q_A}=\frac{D_A}{D_B}\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{3}=\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{2}.
Para a altura:
\frac{H_B}{H_A}=\left(\frac{D_A}{D_B}\right)^{2}\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{2}=1,
ou seja, H_B=H_A (porque H\sim u^{2} e u é igual nos dois casos).
Para a potência:
\frac{P_B}{P_A}=\left(\frac{D_A}{D_B}\right)^{3}\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{5}=\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{2}.
Observação: como H se mantém constante, P\sim QH também implica que P e Q escalam da mesma forma — isto confirma o resultado acima.

Passo 4

Aplicando numericamente as razões encontradas.
Primeiro compute a razão de diâmetros:
\frac{D_B}{D_A}=\frac{0{,}36}{0{,}28}=1{,}285714\ldots
O quadrado dessa razão é
\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{2}\approx 1{,}285714^{2}\approx 1{,}653061.
Agora as grandezas da Bomba B:
Vazão:
Q_B = Q_A\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{2}=0{,}055\cdot 1{,}653061\approx 0{,}090918\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando razoavelmente:
Q_B \approx 0{,}0909\\ \mathrm{m^3/s}.
Altura manométrica:
H_B = H_A = 26\\ \mathrm{m}.
Potência de eixo:
P_{B} = P_{A}\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^{2}=28\cdot 1{,}653061\approx 46{,}2857\\ \mathrm{kW}.
Arredondando:
P_{B}\approx 46{,}29\\ \mathrm{kW}.
(Observação didática: poderíamos também calcular P_B como \rho g Q_B H_B assumindo mesma eficiência mecânica, e obteríamos resultado consistente.)

Passo 5

Verificação se o motor de 48\\ \mathrm{kW} é suficiente.
Potência requerida pela bomba em regime semelhante é aproximadamente P_B\approx 46{,}29\\ \mathrm{kW}. O motor disponível tem 48\\ \mathrm{kW}.
Diferença absoluta:
\Delta P = 48 - 46{,}2857 \approx 1{,}7143\\ \mathrm{kW}.
Margem percentual em relação ao motor:
\frac{\Delta P}{48}\times 100\% \approx \frac{1{,}7143}{48}\times100\%\approx 3{,}57\%.
Conclusão prática: o motor de 48\\ \mathrm{kW} é tecnicamente suficiente, pois sua potência nominal excede a potência de eixo estimada necessária ( 46{,}29\\ \mathrm{kW}). Porém a margem é pequena ( \approx 3{,}6\%). Em projetos reais convém considerar fatores adicionais — variações de eficiência, sobretensões de partida, perdas mecânicas e térmicas, folgas de projeto e requisitos normativos — e normalmente reservar uma margem maior para garantir confiabilidade e vida útil do motor. Mas, estritamente pelos números de semelhança hidráulica, o motor atende.

Resposta

(a) n_B \approx 2296{,}11\\ \mathrm{rpm}.
(b) Q_B \approx 0{,}0909\\ \mathrm{m^3/s}.
H_B = 26\\ \mathrm{m}.
P_{B,\text{eixo}} \approx 46{,}29\\ \mathrm{kW}.
(c) Sim. O motor de 48\\ \mathrm{kW} é suficiente (potência necessária \approx 46{,}29\\ \mathrm{kW}, margem \approx 1{,}71\\ \mathrm{kW} 3{,}57\%).

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