Uma indústria química utiliza um evaporador de dois efeitos com alimentação paralela para concentrar glicerina e celulose. No primeiro efeito entra a glicerina a 25^{\circ} \mathrm{C} com uma concentração de 3 \%, vazão mássica de 200 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} e \mathrm{c}_{p} de 2,6 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.K. a glicerina deve ser concentrada até 10 \%, sendo que a temperatura de operação no primeiro efeito é 130^{\circ} \mathrm{C} (considerando o efeito da EPE). Como fluido de troca térmica é utilizado vapor saturado a 200^{\circ} \mathrm{C}.
O vapor produzido no primeiro efeito é utilizado por completo como fluido de troca térmica do segundo efeito (evaporadores independentes). No segundo efeito, concentra-se uma dispersão de celulose de 5 \% até 10 \%. Sabe-se que o \mathrm{c}_{p} desta dispersão é de 2,8 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e sua temperatura na alimentação é 25^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura de operação do efeito 2 é 80 { }^{\circ} \mathrm{C} (considerando o efeito da EPE).
Considere os coeficientes globais de troca térmica do efeito 1 e 2 como 20 e 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, respectivamente.
Calcular:
As áreas dos evaporadores. Use o conceito da diferença de temperatura médica logarítmica no cálculo (4 pontos);
A vazão mássica de vapor necessário no efeito 1 (2 pontos);
As vazões mássicas dos vapores gerados nos efeitos 1 e 2 (2 pontos);
A vazão mássica da dispersão de celulose (2 pontos).
Você como engenheiro, faça uma análise do projeto a partir dos resultados.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos: (i) as áreas dos dois evaporadores usando LMTD; (ii) a vazão mássica de vapor necessária no efeito 1 (vapor de utilidade); (iii) as vazões mássicas dos vapores gerados em cada efeito; (iv) a vazão mássica da alimentação da dispersão de celulose (efeito 2).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Glicerina (efeito 1): alimentação \dot{m}_{G,f}=200\\ \mathrm{kg/h}, concentração inicial x_{G,i}=3\%, concentração final x_{G,o}=10\%, temperatura de alimentação T_{G,f}=25^\circ\mathrm{C}, temperatura de ebulição de operação T_{E1}=130^\circ\mathrm{C} (já considerando EPE), calor específico c_{p,G}=2{,}6\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Vapor de utilidade (externo) saturado a T_{s}=200^\circ\mathrm{C} (é o que fornece calor ao efeito 1).
  • O vapor gerado no efeito 1 é usado integralmente como fluido de aquecimento do efeito 2 (isto é, o vapor que sai do efeito 1 condensa no efeito 2).
  • Dispersão de celulose (efeito 2): concentração inicial x_{C,i}=5\%, concentração final x_{C,o}=10\%, temperatura de alimentação T_{C,f}=25^\circ\mathrm{C}, temperatura de ebulição de operação T_{E2}=80^\circ\mathrm{C} (já considerando EPE), calor específico c_{p,C}=2{,}8\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Coeficientes globais de troca térmica: U_1=20\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} (efeito 1) e U_2=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} (efeito 2).
  • Não foram dados entalpia de vaporização explícitas; vou usar valores típicos de tabela de vapor saturado (assunção explícita):
    • h_{fg}(200^\circ\mathrm{C}) = 1946\\ \mathrm{kJ/kg},
    • h_{fg}(130^\circ\mathrm{C}) = 2086\\ \mathrm{kJ/kg},
    • h_{fg}(80^\circ\mathrm{C}) = 2473\\ \mathrm{kJ/kg}.
Observações importantes: todos os cálculos de energia serão feitos em kJ/h e convertidos para W quando necessário para usar U em \mathrm{W}. Todas as massas serão em \mathrm{kg/h}. A metodologia que usarei: balanço de massa para achar as vazões de vapor gerado, balanço de energia (sensible + latente) para achar calores, uso de LMTD para achar áreas.

Passo 2

Balanço de massa no efeito 1 (glicerina): a massa de soluto (glicerina sólida ou fração seca) se conserva.
  • Massa de soluto na alimentação:
\dot{m}_{s} = \dot{m}_{G,f}\cdot x_{G,i} = 200\cdot 0{,}03 = 6\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa da solução saída (para 10\% soluto):
\dot{m}_{G,o} = \frac{\dot{m}_{s}}{x_{G,o}} = \frac{6}{0{,}10} = 60\\ \mathrm{kg/h}.
  • Vapor gerado no efeito 1 (evaporado):
\dot{V}_1 = \dot{m}_{G,f} - \dot{m}_{G,o} = 200 - 60 = 140\\ \mathrm{kg/h}.
Explicação didática rápida: para aumentar de 3\% para 10\% mantendo os 6 kg de soluto, a massa total diminui para 60\\ \mathrm{kg/h}, logo evaporam 140\\ \mathrm{kg/h} de água.

Passo 3

Energia necessária no efeito 1 (aquecimento sensível + vaporização):
  1. Aquecer a alimentação de 25^\circ\mathrm{C} até 130^\circ\mathrm{C}:
Q_{1,sens} = \dot{m}_{G,f}\; c_{p,G}\; (T_{E1}-T_{G,f}).
Substituindo:
Q_{1,sens} = 200\cdot 2{,}6\cdot (130-25) = 200\cdot 2{,}6\cdot 105 = 54\,600\\ \mathrm{kJ/h}.
Explicação: c_p tem unidades \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, multiplica-se pela massa e pela variação de temperatura para obter energia em kJ.
  1. Vaporização da água evaporada (a 130°C, usando h_{fg}(130)):
Q_{1,evap} = \dot{V}_1 \; h_{fg}(130) = 140\cdot 2086 = 292\,040\\ \mathrm{kJ/h}.
  1. Energia total requerida no efeito 1:
Q_1 = Q_{1,sens}+Q_{1,evap} = 54\,600 + 292\,040 = 346\,640\\ \mathrm{kJ/h}.

Passo 4

Vazão mássica de vapor de utilidade necessária no efeito 1 (vapor saturado a 200^\circ\mathrm{C}):
  • A energia fornecida por 1\\ \mathrm{kg} de vapor a 200^\circ\mathrm{C} ao condensar é aproximadamente h_{fg}(200)=1946\\ \mathrm{kJ/kg}. Assim:
\dot{m}_{s,1} = \frac{Q_1}{h_{fg}(200)} = \frac{346\,640}{1946} \approx 178{,}09\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação: são necessárias cerca de 178{,}1\\ \mathrm{kg/h} de vapor externo para suprir o calor do efeito 1.

Passo 5

Cálculo da área do trocador do efeito 1 usando LMTD:
  • Temperatura quente (vapor de utilidade): T_{h}=200^\circ\mathrm{C} (constante durante condensação).
  • Temperatura fria varia de T_{c,in}=25^\circ\mathrm{C} até T_{c,out}=130^\circ\mathrm{C}.
  • Diferenças de temperatura nas extremidades:
\Delta T_1 = T_{h}-T_{c,in} = 200-25 = 175\\ \mathrm{K},
\Delta T_2 = T_{h}-T_{c,out} = 200-130 = 70\\ \mathrm{K}.
  • LMTD (diferença de temperatura média logarítmica):
\Delta T_{lm,1} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)} = \frac{175-70}{\ln(175/70)} = \frac{105}{\ln(2{,}5)} \approx 114{,}65\\ \mathrm{K}.
Breve aula sobre LMTD: quando a diferença de temperatura entre os dois fluidos varia ao longo do trocador (aqui porque a solução aquece), a média aritmética não representa bem a força motriz térmica; a média logarítmica penaliza corretamente as variações e é a fórmula padrão para projeto de trocadores com um fluido em mudança de fase.
  • Converter Q_1 para W:
Q_1 = 346\,640\\ \mathrm{kJ/h} = \frac{346\,640\cdot 1000}{3600}\\ \mathrm{W} \approx 96\,288{,}9\\ \mathrm{W}.
  • Área:
A_1 = \frac{Q_1}{U_1\;\Delta T_{lm,1}} = \frac{96\,288{,}9}{20\cdot 114{,}65} \approx 41{,}98\\ \mathrm{m^2}.
Conclusão: A_1 \approx 42{,}0\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Energia disponível para o efeito 2: o vapor gerado no efeito 1 ( \dot{V}_1) é usado por completo como aquecimento do efeito 2 ao condensar. A energia disponível é:
Q_2 = \dot{V}_1 \; h_{fg}(130) = 140\cdot 2086 = 292\,040\\ \mathrm{kJ/h}.
(Observação: este é exatamente Q_{1,evap} como era de se esperar: vapor gerado transporta a energia de vaporização correspondente.)

Passo 7

Balanço de massa e energia no efeito 2 (celulose):
  • Balanço de massa para a concentração de 5\% a 10\%. Seja \dot{m}_{C,f} a vazão de alimentação (incógnita). Massa de soluto:
\dot{m}_{s,C} = \dot{m}_{C,f}\cdot 0{,}05.
Massa da saída:
\dot{m}_{C,o} = \frac{\dot{m}_{s,C}}{0{,}10} = \frac{\dot{m}_{C,f}\cdot 0{,}05}{0{,}10} = 0{,}5\\ \dot{m}_{C,f}.
Vapor gerado no efeito 2:
\dot{V}_2 = \dot{m}_{C,f} - \dot{m}_{C,o} = \dot{m}_{C,f} - 0{,}5\dot{m}_{C,f} = 0{,}5\\ \dot{m}_{C,f}.
Ou seja, para dobrar a concentração de 5\% para 10\% evapora-se metade da massa de alimentação — regra prática útil.
  • Energia requerida por kg de alimentação do efeito 2:
    • Aquecer de 25^\circ\mathrm{C} para 80^\circ\mathrm{C}: c_{p,C}(80-25)=2{,}8\cdot 55 = 154\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Vaporização: \dot{V}_2 por kg de alimentação é 0{,}5\\ \mathrm{kg} de vapor por kg de alimentação; entalpia de vaporização a 80^\circ\mathrm{C} é h_{fg}(80)=2473\\ \mathrm{kJ/kg}. Portanto energia de vaporização por kg de alimentação: 0{,}5\cdot 2473 = 1\,236{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Energia total por kg de alimentação: 154 + 1\,236{,}5 = 1\,390{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Como Q_2 (energia disponível) é 292\,040\\ \mathrm{kJ/h}, a vazão de alimentação é:
\dot{m}_{C,f} = \frac{Q_2}{1\,390{,}5} = \frac{292\,040}{1\,390{,}5} \approx 210{,}09\\ \mathrm{kg/h}.
  • Logo:
\dot{V}_2 = 0{,}5\\ \dot{m}_{C,f} \approx 0{,}5\cdot 210{,}09 \approx 105{,}04\\ \mathrm{kg/h}.
Resumo numérico: alimentação de celulose \dot{m}_{C,f}\approx 210{,}1\\ \mathrm{kg/h}, vapor gerado no efeito 2 \dot{V}_2\approx 105{,}0\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 8

Cálculo da área do trocador do efeito 2 usando LMTD:
  • Temperatura do vapor de aquecimento (vapor do efeito 1): T_{h,2}=130^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura fria varia de T_{C,f}=25^\circ\mathrm{C} até T_{E2}=80^\circ\mathrm{C}.
  • Diferenças:
\Delta T_1 = 130-25 = 105\\ \mathrm{K},\quad \Delta T_2 = 130-80 = 50\\ \mathrm{K}.
  • LMTD:
\Delta T_{lm,2} = \frac{105-50}{\ln(105/50)} = \frac{55}{\ln(2{,}1)} \approx 74{,}16\\ \mathrm{K}.
  • Converter Q_2 para W:
Q_2 = 292\,040\\ \mathrm{kJ/h} = \frac{292\,040\cdot 1000}{3600}\\ \mathrm{W} \approx 81\,122{,}2\\ \mathrm{W}.
  • Área:
A_2 = \frac{Q_2}{U_2\;\Delta T_{lm,2}} = \frac{81\,122{,}2}{15\cdot 74{,}16} \approx 72{,}93\\ \mathrm{m^2}.
Conclusão: A_2 \approx 72{,}9\\ \mathrm{m^2}.

Passo 9

  • Resultados mostram que o efeito 1 precisa de vapor externo de aproximadamente 178{,}1\\ \mathrm{kg/h}. Do vapor desse efeito são gerados \dot{V}_1=140\\ \mathrm{kg/h}, que alimentam o efeito 2, gerando \dot{V}_2\approx 105{,}0\\ \mathrm{kg/h}.
  • Áreas calculadas: A_1\approx 42{,}0\\ \mathrm{m^2} e A_2\approx 72{,}9\\ \mathrm{m^2}. Observações:
    • A segunda etapa exige mais área apesar de Q2 < Q1 em W (Q1 foi ~96,3 kW e Q2 ~81,1 kW) porque o coeficiente global U_2 é menor e o LMTD também é menor (força motriz térmica reduzida), aumentando a área necessária.
    • Os valores de U usados são típicos médios; se na prática houver incrustação (fouling) ou resistência adicional, serão necessárias áreas maiores — verificar fatores de incrustação e escolher U de projeto adequado e incluir margem.
  • Eficiência térmica e sugestões:
    • A configuração de dois efeitos já melhora o uso da energia comparado a um único efeito; porém a razão entre vapor externo consumido e vapor produzido (razão consumo/geração) mostra que ainda há consumo significativo: \dot{m}_{s,1}\approx 178{,}1\\ \mathrm{kg/h} consome-se externamente enquanto total de vapor gerado é 140+105\approx 245\\ \mathrm{kg/h} (note que o vapor do efeito 2 normalmente é descarregado ou condensado; para melhorar economia usar recompressão mecânica do vapor do último efeito ou um terceiro efeito).
    • Verificar se é possível aumentar o número de efeitos ou utilizar recompressão mecânica de vapor (VRC) para reduzir o vapor externo necessário.
    • Revisar valores de h_{fg} e U com dados reais de operação e com propriedades da solução (EPE pode variar com concentração e afetar entalpias e pressões). A presença de solutos (glicerina/celulose) pode afetar h_{fg} e c_p modestamente.
    • Checar espaço físico e custos: a área total aproximada é \sim 115\\ \mathrm{m^2} (soma dos dois efeitos). Isso impacta tamanho, custo de trocadores e tempo de limpeza.
  • Conclusão motivadora: os cálculos fornecem dimensões iniciais e balanços que permitem projetar os trocadores e estimar consumo de vapor; antes da construção, recomendo validar com propriedades reais (tabelas de EPE p/ glicerina/celulose), incluir fatores de fouling, e estudar alternativas de economia de vapor (mais efeitos ou recompressão).

Resposta

A_1 \approx 42{,}0\\ \mathrm{m^2}\n A_2 \approx 72{,}9\\ \mathrm{m^2}\n \dot{m}_{s,1} \approx 178{,}1\\ \mathrm{kg/h} (vapor de utilidade necessário no efeito 1)\n \dot{V}_1 = 140{,}0\\ \mathrm{kg/h}\n \dot{V}_2 \approx 105{,}0\\ \mathrm{kg/h}\n \dot{m}_{C,f} \approx 210{,}1\\ \mathrm{kg/h}

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