- A separação de misturas de ácidos graxos pode ser feita por destilação. No entanto, para evitar degradação térmica é necessário empregar temperaturas inferiores a
, o que implica em uma baixa pressão de operação da coluna (
). Neste caso é razoável supor um comportamento ideal para uma fase vapor constituída de uma mistura de ácidos graxos. Já a volatilidade de ácidos graxos depende do número de carbonos na molécula, sendo tanto menor quanto maior for o número de carbonos na mesma. Por exemplo, para uma mistura de ácido mirístico (14 carbonos) e ácido palmítico (16 carbonos) a volatilidade relativa a baixa pressões
é aproximadamente constante e igual a 2,75 .
Adotando estas considerações, projete uma coluna para a separação de uma mistura daqueles dois ácidos, ácido mirístico e palmítico, com concentração 0,5 (em fração molar) e vazão de
, resolvendo os seguintes itens.
(a) determine as taxas do destilado e do produto de fundo para que
e
(b) determine a curva de equilíbrio
(c) determine a taxa mínima de refluxo e também o número mínimo de pratos teóricos que uma coluna poderia ter para realizar esta separação.
(d) escolha uma taxa de refluxo real conveniente (p.ex.
) e determine o número de pratos para essa coluna.
(a) determine as taxas do destilado e do produto de fundo para que
(b) determine a curva de equilíbrio
(c) determine a taxa mínima de refluxo e também o número mínimo de pratos teóricos que uma coluna poderia ter para realizar esta separação.
(d) escolha uma taxa de refluxo real conveniente (p.ex.
Passo 1
O enunciado pede o projeto de uma coluna para separar uma mistura binária (ácido mirístico — componente 1 — e ácido palmítico — componente 2) com os seguintes dados e pedidos:
-
Dados fornecidos:
- Fração molar do componente 1 no alimento:
. - Vazão do alimento:
. - Volatilidade relativa (pressões baixas, comportamento ideal de vapor):
. Aqui adotamos a definição usual em que o componente 1 (mirístico) é o componente mais volátil, logo . - Especificações de produto:
- Destilado (D):
. - Fundo (W):
.
- Destilado (D):
- Suposições adotadas (não fornecidas no enunciado -> escolhi para seguir procedimento padrão):
- Alimentação como líquido saturado (qualidade de alimentação
). Vou deixar claro quando essa suposição é usada. - Coluna em regime estacionário, sem reações, balanços molares simples.
- Alimentação como líquido saturado (qualidade de alimentação
- Fração molar do componente 1 no alimento:
-
Perguntas (o que o enunciado pede):
(a) Determine as vazões do destiladoe do produto de fundo que atendem às puridades pedidas.
(b) Determine a curva de equilíbrio (expressãopara a fase vapor ideal com volatilidade relativa constante).
(c) Determine a taxa mínima de refluxoe o número mínimo de pratos teóricos (estágios) que a coluna precisaria para realizar essa separação.
(d) Escolha uma taxa de refluxo real conveniente (por exemplo) e determine o número de pratos para essa taxa de refluxo.
A partir daqui começamos a resolver passo a passo.
Passo 2
(a) Balanço material para encontrar
e
.
Explicação didática curta: para uma coluna sem perdas, o balanço total e o balanço do componente-chave (componente 1) permitem determinar as vazões de produto.
- Balanço total:
- Balanço do componente 1 (mirístico):
Temos
,
,
,
. Vamos resolver.
Substituímos
no balanço do componente 1:
Reorganizando para
:
Portanto
Agora os números:
E
Interpretação amigável: como as especificações pedidas (0,90 e 0,10) são simétricas em torno de 0,5, as vazões também ficaram iguais — meio intuitivo.
Passo 3
(b) Curva de equilíbrio para mistura binária com volatilidade relativa constante.
Explicação didática: para uma mistura vapor ideal com volatilidade relativa constante
, a relação entre composição do vapor
(fração molar do componente mais volátil na fase vapor) e a composição do líquido
(fração molar do mesmo componente na fase líquida) é dada por:
Começamos da definição de volatilidade relativa:
Para binário
e
. Substituindo e isolando
, obtemos a forma padrão:
Aplicando
, a curva de equilíbrio fica:
Observação prática: no McCabe–Thiele usamos essa expressão para traçar a curva
vs
e também a sua inversa (quando necessário). A inversa, útil para passos gráficos/numéricos, é:
obtida isolando
em
. Vou usá-la depois nos cálculos numéricos.
Passo 4
(c) Determinação do número mínimo de pratos teóricos
(fórmula de Fenske) — condição de refluxo infinito (total reflux).
Explicação didática: a fórmula de Fenske dá o número mínimo de estágios teóricos necessário para obter uma separação especificada quando a coluna opera em refluxo total (isto é, sem retirada de destilado — situação idealizada). A fórmula (para mistura binária e volatilidade constante) é:
Aqui
é a fração molar do componente 1 no destilado,
no fundo, e
é a volatilidade relativa.
Substituindo os valores:
Logo a razão é
.
Agora
Calculemos numericamente (explico passo a passo para você poder refazer sem calculadora aproximando logs, mas aqui já uso valores numéricos razoáveis):
Portanto
Interpretação: o número mínimo de pratos teóricos em refluxo total é
. Como na prática não existem frações de prato, precisamos de pelo menos
pratos teóricos se quisermos operar em refluxo total. Observação:
é o número de pratos teóricos mínimo sob refluxo infinito (situação ideal). Para operar com refluxo finito precisamos de mais pratos.
Passo 5
(c) Determinação da taxa mínima de refluxo
.
Explicação didática curta do método adotado: vou utilizar a relação analítica para uma coluna binária com volatilidade relativa constante que relaciona
com as composições de destilado e fundo. Uma expressão conveniente (obtida a partir das condições de tangência do operating line com a curva de equilíbrio para refluxo mínimo) é:
(Obs.: essa expressão é uma forma tratável que aparece em tratamentos com volatilidade constante — a dedução envolve escrever a linha de operação rectificante e impor a condição de tangência com a curva de equilíbrio; não vou pular etapas úteis para entender mas aqui apresento a expressão final empregada em projeto de colunas binárias.)
Agora substituímos os números:
Logo o numerador:
E
.
Portanto
Interpretação: a razão de refluxo mínima é bastante alta (
), o que indica que obter
no destilado e
no fundo com essa volatilidade exige um refluxo considerável (se operarmos com refluxo menor que isso a separação com número finito de pratos não é possível; em termos gráficos, a linha de operação entra em “pinch” com a curva de equilíbrio).
Passo 6
(d) Escolha de uma taxa de refluxo real e determinação do número de pratos teóricos usando McCabe–Thiele (passos numéricos).
Escolha:
. Vamos calcular:
Procedimento didático (McCabe–Thiele numérico):
- A linha de operação rectificante tem equação
Com
obtemos:
Logo a linha rectificante é aproximadamente
- Determinamos o ponto de interseção entre a linha rectificante e a vertical do alimento
— esse ponto é o ponto de entrada entre as duas regiões (rectificante e stripping):
- A linha de operação de stripping passa pelos pontos
e . - Primeiro calcular o valor de equilíbrio em
:
- Primeiro calcular o valor de equilíbrio em
- Slope da linha de stripping:
- Intercepto da linha stripping:
- Logo
- Agora fazemos o procedimento numérico de McCabe–Thiele em modo “stepping” (vou apresentar passo a passo os pares horizontal (equilíbrio) e vertical (linha de operação), começando no topo
). Para obter o líquido correspondente a um vapor usamos a inversa da curva de equilíbrio:
Vou mostrar as iterações até nos aproximarmos de
. Cada iteração horizontal (equilíbrio) fornece um
; cada iteração vertical aplica a linha de operação (rectificante ou stripping conforme a região).
-
Iteração 0 (topo):
- Equilíbrio (horizontal):
- Como
usamos a linha rectificante para descer verticalmente:
- Equilíbrio (horizontal):
-
Equilíbrio:
- Ainda
(ainda na seção rectificante), vertical pela rectificante:
- Ainda
-
Equilíbrio:
- Agora
— cruzamos o ponto de alimentação, então a partir deste passo a descida vertical usa a linha de stripping:
- Agora
-
Equilíbrio:
- Stripping vertical:
- Stripping vertical:
-
Equilíbrio:
- Stripping vertical:
- Stripping vertical:
-
Equilíbrio:
- Stripping vertical:
- Stripping vertical:
-
Equilíbrio:
- Stripping vertical:
- Stripping vertical:
-
Equilíbrio:
(mais um passo) — já muito próximo de .
Perceba o comportamento: conforme descemos na seção de stripping o
vai convergindo lentamente para
, isto é típico quando a especificação de fundo é restrita — precisa-se de várias etapas na seção de stripping.
Contagem de pratos teóricos: cada par “horizontal (equilíbrio) + vertical (linha de operação)” corresponde a um estágio teórico. Seguindo as iterações acima chegamos perto de
após aproximadamente 10 passos completos (estágios). Portanto o número de pratos teóricos necessários para
é aproximadamente
.
Resumo do raciocínio numérico:
-
(refluxo infinito) (portanto pelo menos 5 estágios se estivéssemos em refluxo total). - Com
(refluxo finito mais prático), o número de estágios sobe para aproximadamente (obtido por McCabe–Thiele numérico/iterações).
Resposta
(a)
(b) Curva de equilíbrio (volatilidade constante
):
(c) Número mínimo de pratos teóricos (Fenske, refluxo total):
Taxa mínima de refluxo (aproximação para binário com
constante):
(d) Escolhendo
, número de pratos teóricos obtido por McCabe–Thiele (iteração numérica) aproximadamente: