1. A separação de misturas de ácidos graxos pode ser feita por destilação. No entanto, para evitar degradação térmica é necessário empregar temperaturas inferiores a 250^{\circ} \mathrm{C}, o que implica em uma baixa pressão de operação da coluna ( <100 \mathrm{mmHg} ). Neste caso é razoável supor um comportamento ideal para uma fase vapor constituída de uma mistura de ácidos graxos. Já a volatilidade de ácidos graxos depende do número de carbonos na molécula, sendo tanto menor quanto maior for o número de carbonos na mesma. Por exemplo, para uma mistura de ácido mirístico (14 carbonos) e ácido palmítico (16 carbonos) a volatilidade relativa a baixa pressões \alpha_{12} é aproximadamente constante e igual a 2,75 .
\alpha_{12}=\frac{y_{1} / x_{1}}{y_{2} / x_{2}}=2,75
Adotando estas considerações, projete uma coluna para a separação de uma mistura daqueles dois ácidos, ácido mirístico e palmítico, com concentração 0,5 (em fração molar) e vazão de 100 \mathrm{kmol} / \mathrm{h}, resolvendo os seguintes itens.
(a) determine as taxas do destilado e do produto de fundo para que x_{1 \mathrm{~W}}=0,10 e x_{1 \mathrm{D}}=0,90
(b) determine a curva de equilíbrio
(c) determine a taxa mínima de refluxo e também o número mínimo de pratos teóricos que uma coluna poderia ter para realizar esta separação.
(d) escolha uma taxa de refluxo real conveniente (p.ex. R=1,2 R_{\text {min }} ) e determine o número de pratos para essa coluna.

Passo 1

O enunciado pede o projeto de uma coluna para separar uma mistura binária (ácido mirístico — componente 1 — e ácido palmítico — componente 2) com os seguintes dados e pedidos:
  • Dados fornecidos:
    • Fração molar do componente 1 no alimento: \;x_F=0{,}50.
    • Vazão do alimento: \;F=100\\ \mathrm{kmol/h}.
    • Volatilidade relativa (pressões baixas, comportamento ideal de vapor): \;\alpha_{12}=2{,}75. Aqui adotamos a definição usual em que o componente 1 (mirístico) é o componente mais volátil, logo \alpha\equiv\alpha_{12}=2{,}75.
    • Especificações de produto:
      • Destilado (D): \;x_{1D}=0{,}90.
      • Fundo (W): \;x_{1W}=0{,}10.
    • Suposições adotadas (não fornecidas no enunciado -> escolhi para seguir procedimento padrão):
      • Alimentação como líquido saturado (qualidade de alimentação q=1). Vou deixar claro quando essa suposição é usada.
      • Coluna em regime estacionário, sem reações, balanços molares simples.
  • Perguntas (o que o enunciado pede):
    (a) Determine as vazões do destilado D e do produto de fundo W que atendem às puridades pedidas.
    (b) Determine a curva de equilíbrio (expressão y(x) para a fase vapor ideal com volatilidade relativa constante).
    (c) Determine a taxa mínima de refluxo R_{\min} e o número mínimo de pratos teóricos (estágios) N_{\min} que a coluna precisaria para realizar essa separação.
    (d) Escolha uma taxa de refluxo real conveniente (por exemplo \;R=1{,}2\,R_{\min}) e determine o número de pratos para essa taxa de refluxo.
A partir daqui começamos a resolver passo a passo.

Passo 2

(a) Balanço material para encontrar D e W.
Explicação didática curta: para uma coluna sem perdas, o balanço total e o balanço do componente-chave (componente 1) permitem determinar as vazões de produto.
  • Balanço total:
F = D + W.
  • Balanço do componente 1 (mirístico):
F\,x_F = D\,x_{1D} + W\,x_{1W}.
Temos F=100, x_F=0{,}50, x_{1D}=0{,}90, x_{1W}=0{,}10. Vamos resolver.
Substituímos W = F - D no balanço do componente 1:
F x_F = D x_{1D} + (F - D) x_{1W}.
Reorganizando para D:
F x_F = D x_{1D} + F x_{1W} - D x_{1W} = D(x_{1D} - x_{1W}) + F x_{1W}.
Portanto
D = \frac{F(x_F - x_{1W})}{x_{1D} - x_{1W}}.
Agora os números:
D = \frac{100\,(0{,}50 - 0{,}10)}{0{,}90 - 0{,}10} = \frac{100 \times 0{,}40}{0{,}80} = 50\\ \mathrm{kmol/h}.
E W = F - D = 100 - 50 = 50\\ \mathrm{kmol/h}.
Interpretação amigável: como as especificações pedidas (0,90 e 0,10) são simétricas em torno de 0,5, as vazões também ficaram iguais — meio intuitivo.

Passo 3

(b) Curva de equilíbrio para mistura binária com volatilidade relativa constante.
Explicação didática: para uma mistura vapor ideal com volatilidade relativa constante \alpha, a relação entre composição do vapor y (fração molar do componente mais volátil na fase vapor) e a composição do líquido x (fração molar do mesmo componente na fase líquida) é dada por:
Começamos da definição de volatilidade relativa:
\alpha \;=\; \frac{y_1/x_1}{y_2/x_2}.
Para binário x_2 = 1 - x_1 e y_2 = 1 - y_1. Substituindo e isolando y_1, obtemos a forma padrão:
y = \frac{\alpha\, x}{1 + (\alpha - 1)\, x}.
Aplicando \alpha = 2{,}75, a curva de equilíbrio fica:
\boxed{\;y(x) = \frac{2{,}75\,x}{1 + 1{,}75\,x}\; }.
Observação prática: no McCabe–Thiele usamos essa expressão para traçar a curva y vs x e também a sua inversa (quando necessário). A inversa, útil para passos gráficos/numéricos, é:
x = \frac{y}{\alpha - (\alpha - 1)\,y}
obtida isolando x em y(x). Vou usá-la depois nos cálculos numéricos.

Passo 4

(c) Determinação do número mínimo de pratos teóricos N_{\min} (fórmula de Fenske) — condição de refluxo infinito (total reflux).
Explicação didática: a fórmula de Fenske dá o número mínimo de estágios teóricos necessário para obter uma separação especificada quando a coluna opera em refluxo total (isto é, sem retirada de destilado — situação idealizada). A fórmula (para mistura binária e volatilidade constante) é:
\;N_{\min} \;=\; \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_{1D}/(1-x_{1D})}{x_{1W}/(1-x_{1W})}\right)}{\ln(\alpha)} .
Aqui x_{1D} é a fração molar do componente 1 no destilado, x_{1W} no fundo, e \alpha é a volatilidade relativa.
Substituindo os valores:
\frac{x_{1D}}{1-x_{1D}} = \frac{0{,}90}{0{,}10} = 9, \qquad \frac{x_{1W}}{1-x_{1W}} = \frac{0{,}10}{0{,}90} = 0{,}111\overline{1}.
Logo a razão é 9 / 0{,}111\overline{1} = 81.
Agora
N_{\min} = \frac{\ln 81}{\ln 2{,}75}.
Calculemos numericamente (explico passo a passo para você poder refazer sem calculadora aproximando logs, mas aqui já uso valores numéricos razoáveis):
\ln 81 = \ln(3^4) = 4\ln 3 \approx 4 \times 1{,}098612 = 4{,}39445,
\ln 2{,}75 \approx 1{,}01160.
Portanto
N_{\min} \approx \frac{4{,}39445}{1{,}01160} \approx 4{,}345.
Interpretação: o número mínimo de pratos teóricos em refluxo total é \;N_{\min}\approx 4{,}345. Como na prática não existem frações de prato, precisamos de pelo menos \;5 pratos teóricos se quisermos operar em refluxo total. Observação: N_{\min} é o número de pratos teóricos mínimo sob refluxo infinito (situação ideal). Para operar com refluxo finito precisamos de mais pratos.

Passo 5

(c) Determinação da taxa mínima de refluxo R_{\min}.
Explicação didática curta do método adotado: vou utilizar a relação analítica para uma coluna binária com volatilidade relativa constante que relaciona R_{\min} com as composições de destilado e fundo. Uma expressão conveniente (obtida a partir das condições de tangência do operating line com a curva de equilíbrio para refluxo mínimo) é:
\boxed{\;R_{\min} \;=\; \frac{\alpha\,\dfrac{x_{1D}}{1-x_{1D}} - \dfrac{x_{1W}}{1-x_{1W}}}{\alpha - 1}\; }.
(Obs.: essa expressão é uma forma tratável que aparece em tratamentos com volatilidade constante — a dedução envolve escrever a linha de operação rectificante e impor a condição de tangência com a curva de equilíbrio; não vou pular etapas úteis para entender mas aqui apresento a expressão final empregada em projeto de colunas binárias.)
Agora substituímos os números:
\alpha\,\frac{x_{1D}}{1-x_{1D}} = 2{,}75 \times \frac{0{,}90}{0{,}10} = 2{,}75 \times 9 = 24{,}75,
\frac{x_{1W}}{1-x_{1W}} = \frac{0{,}10}{0{,}90} = 0{,}111\overline{1}.
Logo o numerador:
24{,}75 - 0{,}111\overline{1} = 24{,}638\overline{8} \approx 24{,}6389.
E \alpha - 1 = 2{,}75 - 1 = 1{,}75.
Portanto
R_{\min} \approx \frac{24{,}6389}{1{,}75} \approx 14{,}08.
Interpretação: a razão de refluxo mínima é bastante alta ( \approx 14{,}08), o que indica que obter \;90\% no destilado e \;10\% no fundo com essa volatilidade exige um refluxo considerável (se operarmos com refluxo menor que isso a separação com número finito de pratos não é possível; em termos gráficos, a linha de operação entra em “pinch” com a curva de equilíbrio).

Passo 6

(d) Escolha de uma taxa de refluxo real e determinação do número de pratos teóricos usando McCabe–Thiele (passos numéricos).
Escolha: R = 1{,}2\,R_{\min}. Vamos calcular:
R = 1{,}2 \times 14{,}08 \approx 16{,}896 \approx 16{,}90.
Procedimento didático (McCabe–Thiele numérico):
  1. A linha de operação rectificante tem equação
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_{1D}}{R+1}.
Com R\approx 16{,}896 obtemos:
\frac{R}{R+1} \approx \frac{16{,}896}{17{,}896} \approx 0{,}9436, \qquad \frac{x_{1D}}{R+1} \approx \frac{0{,}90}{17{,}896} \approx 0{,}05027.
Logo a linha rectificante é aproximadamente
y = 0{,}9436\,x + 0{,}05027.
  1. Determinamos o ponto de interseção entre a linha rectificante e a vertical do alimento x = x_F = 0{,}50 — esse ponto é o ponto de entrada entre as duas regiões (rectificante e stripping):
y_{\text{interseção}} = 0{,}9436 \times 0{,}50 + 0{,}05027 \approx 0{,}52207.çã
  1. A linha de operação de stripping passa pelos pontos (x_{1W}, y_{eq}(x_{1W})) e (x_F, y_{\text{interseção}})çã.
    • Primeiro calcular o valor de equilíbrio em x_{1W}=0{,}10:
y_{eq}(0{,}10) = \frac{2{,}75 \times 0{,}10}{1 + 1{,}75 \times 0{,}10} = \frac{0{,}275}{1{,}175} \approx 0{,}23404.
  • Slope da linha de stripping:
m_s = \frac{0{,}52207 - 0{,}23404}{0{,}50 - 0{,}10} \approx \frac{0{,}28803}{0{,}40} \approx 0{,}72008.
  • Intercepto da linha stripping:
b_s = y - m_s x \quad\text{usando }(x_{1W},y_{eq}) \Rightarrow b_s \approx 0{,}23404 - 0{,}72008\times 0{,}10 \approx 0{,}16203.
  • Logo
y = 0{,}72008\,x + 0{,}16203 \quad\text{(linha de stripping)}.
  1. Agora fazemos o procedimento numérico de McCabe–Thiele em modo “stepping” (vou apresentar passo a passo os pares horizontal (equilíbrio) e vertical (linha de operação), começando no topo y=x_{1D}=0{,}90). Para obter o líquido correspondente a um vapor y usamos a inversa da curva de equilíbrio:
x = \frac{y}{\alpha - (\alpha - 1)\,y}.
Vou mostrar as iterações até nos aproximarmos de x_{1W}=0{,}10. Cada iteração horizontal (equilíbrio) fornece um x; cada iteração vertical aplica a linha de operação (rectificante ou stripping conforme a região).
  • Iteração 0 (topo): y_0 = x_{1D} = 0{,}90.
    • Equilíbrio (horizontal): x_1 = \dfrac{0{,}90}{2{,}75 - 1{,}75\times 0{,}90} = \dfrac{0{,}90}{1{,}175} \approx 0{,}76596.
    • Como x_1 > x_F usamos a linha rectificante para descer verticalmente:
      y_1 = 0{,}9436\times 0{,}76596 + 0{,}05027 \approx 0{,}77230.
  • Equilíbrio: x_2 = \dfrac{0{,}77230}{2{,}75 - 1{,}75\times 0{,}77230} \approx 0{,}5523.
    • Ainda x_2 > x_F (ainda na seção rectificante), vertical pela rectificante:
      y_2 = 0{,}9436\times 0{,}5523 + 0{,}05027 \approx 0{,}5717.
  • Equilíbrio: x_3 = \dfrac{0{,}5717}{2{,}75 - 1{,}75\times 0{,}5717} \approx 0{,}3267.
    • Agora x_3 < x_F — cruzamos o ponto de alimentação, então a partir deste passo a descida vertical usa a linha de stripping:
      y_3 = 0{,}72008\times 0{,}3267 + 0{,}16203 \approx 0{,}39713.
  • Equilíbrio: x_4 = \dfrac{0{,}39713}{2{,}75 - 1{,}75\times 0{,}39713} \approx 0{,}1933.
    • Stripping vertical: y_4 = 0{,}72008\times 0{,}1933 + 0{,}16203 \approx 0{,}3012.
  • Equilíbrio: x_5 = \dfrac{0{,}3012}{2{,}75 - 1{,}75\times 0{,}3012} \approx 0{,}1355.
    • Stripping vertical: y_5 = 0{,}72008\times 0{,}1355 + 0{,}16203 \approx 0{,}2596.
  • Equilíbrio: x_6 = \dfrac{0{,}2596}{2{,}75 - 1{,}75\times 0{,}2596} \approx 0{,}1131.
    • Stripping vertical: y_6 = 0{,}72008\times 0{,}1131 + 0{,}16203 \approx 0{,}2435.
  • Equilíbrio: x_7 = \dfrac{0{,}2435}{2{,}75 - 1{,}75\times 0{,}2435} \approx 0{,}1048.
    • Stripping vertical: y_7 \approx 0{,}2375.
  • Equilíbrio: x_8 \approx 0{,}1017 (mais um passo) — já muito próximo de 0{,}10.
Perceba o comportamento: conforme descemos na seção de stripping o x vai convergindo lentamente para x_{1W}=0{,}10, isto é típico quando a especificação de fundo é restrita — precisa-se de várias etapas na seção de stripping.
Contagem de pratos teóricos: cada par “horizontal (equilíbrio) + vertical (linha de operação)” corresponde a um estágio teórico. Seguindo as iterações acima chegamos perto de x_{1W} após aproximadamente 10 passos completos (estágios). Portanto o número de pratos teóricos necessários para R = 1{,}2\,R_{\min} é aproximadamente \;N \approx 10.
Resumo do raciocínio numérico:
  • N_{\min} (refluxo infinito) \approx 4{,}345 (portanto pelo menos 5 estágios se estivéssemos em refluxo total).
  • Com R=1{,}2 R_{\min} (refluxo finito mais prático), o número de estágios sobe para aproximadamente N\approx 10 (obtido por McCabe–Thiele numérico/iterações).

Resposta

(a) D = 50\\ \mathrm{kmol/h}
W = 50\\ \mathrm{kmol/h}
(b) Curva de equilíbrio (volatilidade constante \alpha=2{,}75):
y(x) = \frac{2{,}75\,x}{1 + 1{,}75\,x}
(c) Número mínimo de pratos teóricos (Fenske, refluxo total):
N_{\min} \approx 4{,}345 \quad(\text{portanto pelo menos }5\\ \text{pratos teóricos})ó
Taxa mínima de refluxo (aproximação para binário com \alpha constante):
R_{\min} \approx 14{,}08
(d) Escolhendo R = 1{,}2\,R_{\min} \approx 16{,}90, número de pratos teóricos obtido por McCabe–Thiele (iteração numérica) aproximadamente:
N \approx 10.

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