Deseja-se separar uma mistura de metanol e água em um vaso flash a 1 atm de pressão. Os dados de equilíbrio estão apresentados na Tabela 1.
Table 1: Tabela 1. Dados de equilíbrio vapor-líquido para metanol (A) - água (B) ( \mathrm{p}=1 \mathrm{~atm} )
\captionsetup{labelformat=empty}
xA (%) уд (%) \mathbf{T}\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right) xA (%) уА (%) \mathbf{T}\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right)
0 0 100 40 72,9 75,3
2 13,4 96,4 50 77,9 73,1
4 23 93,5 60 82,5 71,2
6 30,4 91,2 70 87 69,3
8 36,5 89,3 80 91,5 67,6
10 41,8 87,7 90 95,8 66
15 51,7 84,4 95 97,9 65
20 57,9 81,7 100 100 64,5
30 66,5 78
a) A alimentação é de 60 \mathrm{~mol} \% de metanol, e 40 \% da corrente alimentada é vaporizada. Quais são as frações molares do vapor e do líquido e as respectivas vazões? Assuma uma alimentação de 100 \mathrm{kmol} / \mathrm{h}.
b) Se a alimentação é de 30 \mathrm{~mol} \% de metanol e deseja-se chegar a um produto líquido com 20 \mathrm{~mol} \% de metanol, qual é a relação V/F e as composições dos produtos? Considere uma alimentação de 1000 \mathrm{lbmol} / \mathrm{h}.
c) O vaso é operado de forma a obter um produto líquido com 45 \mathrm{~mol} \% de metanol. L =1500 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} e V/F = 0,2. Quais é a composição e a vazão da carga alimentada?
d) Se z=0,4 e T=77^{\circ} \mathrm{C}, encontre V/F, x e y.

Passo 1

Enunciado resumido e dados relevantes (o que o problema pede e o que é dado):
  • Dados de equilíbrio vapor-líquido para metanol (A) — água (B) a 1\\ \mathrm{atm} estão na Tabela 1. Eu usei explicitamente os pares (x_A,\; y_A,\; T) listados na tabela (por exemplo: x_A=0{,}30\Rightarrow y_A=0{,}665,\;T=78^\circ\mathrm{C}; x_A=0{,}40\Rightarrow y_A=0{,}729,\;T=75{,}3^\circ\mathrm{C}; etc.).
  • Fórmulas de balanço que vamos usar: balanço total e balanço de componentes (ver Passo 2).
  • Perguntas:
    a) Alimentação com 60\\ \mathrm{mol}\% de metanol ( z=0{,}60), F=100\\ \mathrm{kmol/h}. 40\% da corrente é vaporizada ( V/F=0{,}4). Encontrar as frações molares do vapor e do líquido ( y e x) e as vazões V e L.
    b) Alimentação com z=0{,}30, desejo produto líquido com x=0{,}20. F=1000\\ \mathrm{lbmol/h}. Encontrar V/F e as composições dos produtos (ou seja, y e x e vazões).
    c) Deseja-se x_L=0{,}45. L=1500\\ \mathrm{kmol/h} e V/F=0{,}2. Encontrar composição e vazão da alimentação ( z e F).
    d) Dado z=0{,}4 e T=77^\circ\mathrm{C}, encontrar V/F, x e y correspondentes ao equilíbrio (usar a Tabela 1 / interpolação).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (mini-aula prática e intuitiva):
  • Em um vaso flash em equilíbrio, a corrente líquida e a vapor estão em equilíbrio: existe uma relação entre a composição da fase líquida x e da fase vapor y dada pelos dados de equilíbrio (a Tabela 1 fornece pares (x,y,T) que são linhas de equilíbrio).
  • Balanço total: \;F = L + V. Aqui F é a vazão da alimentação, L do líquido e V do vapor.
  • Balanço de componente (metanol A): \;F z = L x + V y. Onde z é a fração molar de A na alimentação, x na fase líquida e y na fase vapor.
  • Reescrevendo em fração de vapor V/F: \;z = (1 - V/F)\,x + (V/F)\,y. Esta é a forma mais prática para problemas de flash: conhecida z e V/F, relaciona-se x e y; conhecida z e x (ou y), dá V/F.
  • Regra da alavanca (intuição): geometricamente V/F = (z - x)/(y - x) quando y\neq x. Esta é a mesma expressão rearranjada a partir do balanço de componente.
  • Interpolação linear nos dados de tabela: quando o valor procurado está entre duas linhas da tabela, aproximamos por interpolação linear. Para interpolar uma grandeza g entre pontos (u_1,g_1) e (u_2,g_2) para um u intermediário usamos: g = g_1 + \frac{g_2-g_1}{u_2-u_1}\,(u-u_1).Vou mostrar passo a passo cada interpolação que eu fizer.

Passo 3

Dados: \;z=0{,}60,\;F=100\\ \mathrm{kmol/h},\;V/F=0{,}4.
  • Primeiro calculemos as vazões V e L: V = (V/F)\,F = 0{,}4\cdot 100 = 40\\ \mathrm{kmol/h},
L = F - V = 100 - 40 = 60\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Precisamos de x e y em equilíbrio tal que z = (1 - V/F)\,x + (V/F)\,y.Substituindo z=0{,}60 e V/F=0{,}4, 0{,}60 = 0{,}6\,x + 0{,}4\,y.
  • Agora usamos a Tabela 1: ela fornece pares (x,y) em várias entradas. Vou calcular o valor da expressão f(x)=0{,}6x + 0{,}4y para alguns pares da tabela e achar onde f(x)=0{,}60.

Passo 4

Da Tabela 1 (usei explicitamente estes pares):
  • Para x=0{,}40 temos y=0{,}729. Então f(0{,}40) = 0{,}6\cdot 0{,}40 + 0{,}4\cdot 0{,}729 = 0{,}24 + 0{,}2916 = 0{,}5316.
  • Para x=0{,}50 temos y=0{,}779. Então f(0{,}50) = 0{,}6\cdot 0{,}50 + 0{,}4\cdot 0{,}779 = 0{,}30 + 0{,}3116 = 0{,}6116.
  • Nosso objetivo é f(x)=0{,}60, que está entre 0{,}5316 (em x=0{,}40) e 0{,}6116 (em x=0{,}50). Então interpolamos linearmente entre esses dois pontos para encontrar x.
    Razão de interpolação: \lambda = \frac{0{,}60 - 0{,}5316}{0{,}6116 - 0{,}5316} = \frac{0{,}0684}{0{,}08} = 0{,}855.Então x = 0{,}40 + 0{,}855\cdot(0{,}50 - 0{,}40) = 0{,}40 + 0{,}0855 = 0{,}4855.Arredondando com sentido prático: x \approx 0{,}486 (ou 48{,}6\% metanol na fase líquida).
  • Agora obtivemos x; precisamos de y. Interpolamos y entre y(0{,}40)=0{,}729 e y(0{,}50)=0{,}779 com a mesma \lambda: y = 0{,}729 + 0{,}855\cdot(0{,}779 - 0{,}729) = 0{,}729 + 0{,}855\cdot 0{,}05 = 0{,}729 + 0{,}04275 = 0{,}77175.Portanto y \approx 0{,}772 (ou 77{,}2\% metanol no vapor).
  • Conferência rápida do balanço: 0{,}6\cdot 0{,}4855 + 0{,}4\cdot 0{,}77175 = 0{,}2913 + 0{,}3087 = 0{,}6000,que satisfaz o balanço de componente, ótimo.

Passo 5

  • Vazões: V=40\\ \mathrm{kmol/h}, L=60\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Composições em equilíbrio (da interpolação a partir da Tabela 1): x_A \approx 0{,}486 (48,6%) e y_A \approx 0{,}772 (77,2%).

Passo 6

Dados: \;z=0{,}30,\;x=0{,}20,\;F=1000\\ \mathrm{lbmol/h}. Desejamos V/F e composições dos produtos.
  • Use a relação: V/F = \frac{z - x}{y - x}.Precisamos de y em equilíbrio que corresponda ao líquido x=0{,}20. Da Tabela 1: para x=0{,}20 temos y=0{,}579 (e T=81{,}7^\circ\mathrm{C}, mas T não é pedido aqui).

Passo 7

  • Compute: V/F = \frac{0{,}30 - 0{,}20}{0{,}579 - 0{,}20} = \frac{0{,}10}{0{,}379} \approx 0{,}26385.Arredondando: V/F \approx 0{,}264.
  • Vazões: V = (V/F)F = 0{,}26385\cdot 1000 \approx 263{,}85\\ \mathrm{lbmol/h} (praticamente 264), e L = F - V \approx 1000 - 263{,}85 = 736{,}15\\ \mathrm{lbmol/h}.
  • Composições: x=0{,}20 (dado) e y=0{,}579 (da tabela).

Passo 8

Dados: x_L = 0{,}45,\;L = 1500\\ \mathrm{kmol/h},\;V/F = 0{,}2.
  • Relacionamento entre L e F: L = F(1 - V/F) = F(1 - 0{,}2) = 0{,}8\,F.Logo F = \frac{L}{0{,}8} = \frac{1500}{0{,}8} = 1875\\ \mathrm{kmol/h}.E então V = F - L = 1875 - 1500 = 375\\ \mathrm{kmol/h},ou V = 0{,}2\cdot 1875 = 375 (confere).
  • Agora precisamos da composição da alimentação z. Use o balanço de componente: z = (1 - V/F)\,x + (V/F)\,y = 0{,}8\cdot x + 0{,}2\cdot y.Precisamos de y em equilíbrio associado a x=0{,}45. A Tabela 1 não dá explicitamente x=0{,}45, então interpolamos entre x=0{,}40 ( y=0{,}729) e x=0{,}50 ( y=0{,}779).

Passo 9

  • Interpolação para x=0{,}45 (metade entre 0{,}40 e 0{,}50): y = 0{,}729 + \frac{0{,}45 - 0{,}40}{0{,}50 - 0{,}40}\,(0{,}779 - 0{,}729) = 0{,}729 + 0{,}5\cdot 0{,}05 = 0{,}729 + 0{,}025 = 0{,}754.
  • Agora z: z = 0{,}8\cdot 0{,}45 + 0{,}2\cdot 0{,}754 = 0{,}36 + 0{,}1508 = 0{,}5108.Assim z \approx 0{,}511 (ou 51{,}08\% metanol).
  • Concluímos: alimentação F = 1875\\ \mathrm{kmol/h} com z \approx 0{,}511. (Também V=375\\ \mathrm{kmol/h}.)

Passo 10

Dados: z=0{,}4 e T=77^\circ\mathrm{C}. Objetivo: encontrar V/F, x e y do equilíbrio a essa temperatura.
  • Estratégia: a Tabela 1 dá para cada par (x,y) a temperatura de equilíbrio. Para T=77^\circ\mathrm{C} devemos localizar entre quais linhas da tabela esse T aparece e interpolar para obter o par (x,y) correspondente ao tie-line a 77^\circ\mathrm{C}. Depois usar a fórmula V/F = \frac{z - x}{y - x}.

Passo 11

Observando a Tabela 1 (valores de T para cada x):
  • Para x=0{,}30 temos T=78^\circ\mathrm{C} e y=0{,}665.
  • Para x=0{,}40 temos T=75{,}3^\circ\mathrm{C} e y=0{,}729.
    O valor T=77^\circ\mathrm{C} está entre 78^\circ e 75{,}3^\circ, portanto o x correspondente está entre 0{,}30 e 0{,}40. Vamos interpolar linearmente em função de T para achar x e y.
  • Primeiro, interpolação para x (entre (T=78,x=0{,}30) e (T=75{,}3,x=0{,}40)):
    \beta = \frac{78 - 77}{78 - 75{,}3} = \frac{1}{2{,}7} \approx 0{,}37037.
    (obs.: formulei assim para que \beta=0 em T=78 e \beta=1 em T=75{,}3; qualquer forma linear dá o mesmo resultado)
    x = 0{,}30 + \beta\cdot (0{,}40 - 0{,}30) = 0{,}30 + 0{,}37037\cdot 0{,}10 = 0{,}30 + 0{,}037037 = 0{,}337037.
    Assim x \approx 0{,}3370 (ou 33{,}70\% metanol no líquido).
  • Agora interpolamos y entre y(0{,}30)=0{,}665 (em 78^\circ) e y(0{,}40)=0{,}729 (em 75{,}3^\circ) com o mesmo fator \beta:
    y = 0{,}665 + 0{,}37037\cdot (0{,}729 - 0{,}665) = 0{,}665 + 0{,}37037\cdot 0{,}064 = 0{,}665 + 0{,}0237 = 0{,}6887.
    Assim y \approx 0{,}6887 (ou 68{,}87\% metanol no vapor).
  • Verificação rápida: T interpolado entre 78 e 75{,}3 com o mesmo fator fica 77^\circ como exigido — consistente.

Passo 12

Com z=0{,}4, x\approx 0{,}337037 e y\approx 0{,}688704, aplicamos
V/F = \frac{z - x}{y - x} = \frac{0{,}4 - 0{,}337037}{0{,}688704 - 0{,}337037}.
Calculemos numericamente:
\text{numerador} = 0{,}062963,\qquad \text{denominador} = 0{,}351667,
V/F \approx \frac{0{,}062963}{0{,}351667} \approx 0{,}1790.
Portanto V/F \approx 0{,}179 (ou 17{,}9\% vaporizado). As composições são x\approx 0{,}337 e y\approx 0{,}689.

Resposta

(a) x_A \approx 0{,}486 (48,6%), y_A \approx 0{,}772 (77,2%); V=40\\ \mathrm{kmol/h}, L=60\\ \mathrm{kmol/h}.
(b) V/F \approx 0{,}264; x=0{,}20, y=0{,}579; V\approx 263{,}85\\ \mathrm{lbmol/h}, L\approx 736{,}15\\ \mathrm{lbmol/h}.
(c) F=1875\\ \mathrm{kmol/h}; z\approx 0{,}511 (51,08% metanol). (Também V=375\\ \mathrm{kmol/h}.)
(d) A T=77^\circ\mathrm{C}: x\approx 0{,}337 (33,7%), y\approx 0{,}689 (68,9%), V/F\approx 0{,}179.

Exercícios relacionados