Uma indústria submete seus novos operários a um teste de aptidão (X) e três meses depois mede a produtividade destes operários (Y). Os resultados estão na tabela a seguir
Operário A B C D E F
Aptidão (X) 22 25 15 19 22 18
Produtividade (Y) 45 37 25 40 33 30
A reta de regressão ajustada para estes dados é \hat{Y}_{i}=9.0027+1.2891 X_{i}. Queremos testar se a relação de linearidade entre as variáveis Y e X é estatisticamente significativa assumindo \alpha=5 \%. Considere as seguintes informações:
\sum_{i=1}^{9} X_{i} Y_{i}=4316 \quad \sum_{i=1}^{9} X_{i}^{2}=2503 \quad \sum_{i=1}^{9} Y_{i}^{2}=7608
(a) (0.5) Defina o teste ANOVA para este problema.
(b) (1,5) Obtenha a SQ_{\text {Total }}, SQ_{\text {Reg }} e SQ_{\text {Res }}.
(c) (1,0) Obtenha o F_{\text {cal }} e tome uma decisão sobre o teste.

Passo 1

O enunciado mostra uma amostra de n=6 operários com notas de aptidão X e produtividade Y. Já temos a reta estimada
\hat{Y}_i = 9.0027 + 1.2891\,X_i
e devemos testar, a \alpha=5\%, se existe relação linear entre X e Y usando a ANOVA de regressão. Para isso vamos precisar dos somatórios \sum X_i, \sum Y_i, \sum X_i^2, \sum Y_i^2, \sum X_iY_i e das fórmulas de soma de quadrados.

Passo 2

Definimos o teste ANOVA para regressão simples como
H_0: \beta_1 = 0 \quad\text{vs.}\quad H_1: \beta_1 \neq 0,
onde \beta_1 é o coeficiente angular verdadeiro. Calculamos
\text{SST} = \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar Y)^2,\quad \text{SSR} = \sum_{i=1}^n (\hat Y_i - \bar Y)^2,\quad \text{SSE} = \sum_{i=1}^n (Y_i - \hat Y_i)^2,
e o quociente de razão de variâncias
F_{\text{cal}} = \frac{\mathrm{MSR}}{\mathrm{MSE}} = \frac{\text{SSR}/1}{\text{SSE}/(n-2)}.
Comparamos F_{\text{cal}} com F_{1,n-2;\,0,95}.

Passo 3

Primeiro, calculamos as estatísticas sumárias: \sum X_i=121, \sum Y_i=210, \sum X_i^2=2503, \sum Y_i^2=7608, \sum X_iY_i=4316.
As médias são \bar X = 121/6\approx20{,}1667, \bar Y = 210/6=35.
Soma de quadrados total:
\text{SST} = \sum Y_i^2 - \frac{(\sum Y_i)^2}{n} = 7608 - \frac{210^2}{6} = 258.
Coeficientes auxiliares:
S_{xx} = 2503 - \frac{121^2}{6}\approx62{,}8333, \quad S_{xy} = 4316 - \frac{121\cdot210}{6}=81.
Regressão e resíduos:
\text{SSR} = b_1\,S_{xy} = 1{,}2891\cdot81\approx104{,}42, \quad \text{SSE} = \text{SST} - \text{SSR} = 258 - 104{,}42 = 153{,}58.

Passo 4

Graus de liberdade: df_{\mathrm{reg}}=1, df_{\mathrm{res}}=n-2=4.
\mathrm{MSR} = \frac{\text{SSR}}{1} = 104{,}42, \quad \mathrm{MSE} = \frac{\text{SSE}}{4} = 38{,}395.
Logo
F_{\text{cal}} = \frac{104{,}42}{38{,}395} \approx2{,}72.
Para \alpha=5\%, F_{1,4;0,95}\approx7{,}71. Como 2{,}72 < 7{,}71, não rejeitamos H_0.

Resposta

(a) H_0\colon \beta_1=0 (sem relação linear) H_1\colon \beta_1\neq0, usando o teste F de regressão.
(b) \text{SST}=258, \text{SSR}\approx104{,}42, \text{SSE}\approx153{,}58.
(c) F_{\text{cal}}\approx2{,}72, F_{1,4;0,95}\approx7{,}71.
Decisão: não rejeitar H_0; a linearidade não é significativa a 5\%.

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