Exercício 5. Obtenha a função geradora de momentos, média e variância de uma variável aleatória X que tem a distribuição:
(a) Binomial

Passo 1

O enunciado pede a função geradora de momentos, a média e a variância de uma variável aleatória X que segue a distribuição binomial com parâmetros n (número de ensaios) e p (probabilidade de sucesso em cada ensaio). Para isso vamos usar a definição de função geradora de momentos
M_X(t)=E\bigl(e^{tX}\bigr)
e, em seguida, obter E(X)=M_X'(0) e \mathrm{Var}(X)=M_X''(0)-\bigl[M_X'(0)\bigr]^2.

Passo 2

Calculamos
M_X(t) =E\bigl(e^{tX}\bigr) =\sum_{k=0}^{n} e^{t k}\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\bigl(p e^{t}\bigr)^{k}(1-p)^{\,n-k}.
Pela fórmula do binômio de Newton isso é
M_X(t)=\bigl(1-p + p\,e^{t}\bigr)^{n}.

Passo 3

Para a média, derivamos em relação a t e avaliamos em t=0:
M_X'(t) =n\bigl(1-p+p\,e^t\bigr)^{n-1}\cdot\bigl(p\,e^t\bigr),
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E(X)=M_X'(0) =n\bigl(1-p+p\cdot1\bigr)^{n-1}\,p =n\,p.

Passo 4

Para a variância, precisamos de M_X''(0). Diferenciando novamente e avaliando em t=0 obtém-se
M_X''(0) =n(n-1)p^2 + n\,p.
Então
\mathrm{Var}(X) =M_X''(0)-\bigl[M_X'(0)\bigr]^2 =\bigl[n(n-1)p^2 + n\,p\bigr]-(n p)^2 =n\,p(1-p).

Resposta

A função geradora de momentos é
M_X(t)=\bigl(1-p + p\,e^{t}\bigr)^{n}.
A média é
E(X)=n\,p.
A variância é
\mathrm{Var}(X)=n\,p\,(1-p).

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