Exercício 5. Obtenha a função geradora de momentos, média e variância de uma variável aleatória
que tem a distribuição:
(a) Binomial
(a) Binomial
Passo 1
O enunciado pede a função geradora de momentos, a média e a variância de uma variável aleatória
que segue a distribuição binomial com parâmetros
(número de ensaios) e
(probabilidade de sucesso em cada ensaio). Para isso vamos usar a definição de função geradora de momentos
e, em seguida, obter
e
.
Passo 2
Calculamos
Pela fórmula do binômio de Newton isso é
Passo 3
Para a média, derivamos em relação a
e avaliamos em
:
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Passo 4
Para a variância, precisamos de
. Diferenciando novamente e avaliando em
obtém-se
Então
Resposta
A função geradora de momentos é
A média é
A variância é