Exercício 6. Seja X uma variável aleatória com distribuição exponencial dupla de parâmetro \lambda(\lambda>0), cuja função de densidade é dada por:
f(x)=\frac{\lambda}{2} \exp (-\lambda|x|), x \in \mathbb{R}
(a) Obtenha a f.g.m.
(b) Obtenha \mathrm{E}(\mathrm{X}).

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição exponencial dupla (também chamada de Laplace) com parâmetro \lambda>0, cuja densidade é
f(x)=\frac{\lambda}{2}\exp\bigl(-\lambda|x|\bigr),\quad x\in\mathbb{R}.
Pede-se
(a) a função geradora de momentos (f.g.m.)
(b) \mathrm{E}(X).
Para (a) vamos usar a definição
M_X(t)=\mathrm{E}\bigl(e^{tX}\bigr) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{t x}f(x)\,\mathrm{d}x,
e para (b) podemos usar simetria ou derivar M_X(t) em t=0.

Passo 2

Calcular
M_X(t) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{t x}\,\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x|}\,\mathrm{d}x.
Separamos em duas integrais, uma para x\ge0 e outra para x<0:
M_X(t) =\frac{\lambda}{2}\Biggl( \int_{0}^{\infty}e^{t x}e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x +\int_{-\infty}^{0}e^{t x}e^{-\lambda(-x)}\,\mathrm{d}x \Biggr).

Passo 3

Para x\ge0:
\int_{0}^{\infty}e^{t x}e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}e^{-(\lambda - t)x}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\lambda - t}, \quad\text{válido se }t<\lambda.á
Para x<0 fazemos a mudança u=-x\ge0:
\int_{-\infty}^{0}e^{t x}e^{-\lambda(-x)}\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}e^{-t u}e^{-\lambda u}\,\mathrm{d}u =\int_{0}^{\infty}e^{-(\lambda + t)u}\,\mathrm{d}u =\frac{1}{\lambda + t}, \quad\text{válido se }-t<\lambda.á
Somando:
M_X(t) =\frac{\lambda}{2}\Bigl(\frac{1}{\lambda - t}+\frac{1}{\lambda + t}\Bigr) =\frac{\lambda}{2}\cdot\frac{2\lambda}{\lambda^2-t^2} =\frac{\lambda^2}{\lambda^2-t^2},
com região de validade |t|<\lambda.

Passo 4

Para \mathrm{E}(X) note que a densidade é simétrica em torno de zero, logo intuitivamente \mathrm{E}(X)=0.
Se quisermos por derivada da f.g.m.:
M_X(t)=\frac{\lambda^2}{\lambda^2-t^2} \quad\Longrightarrow\quad M_X'(t) =\lambda^2\cdot\frac{2t}{(\lambda^2-t^2)^2},
logo
\mathrm{E}(X)=M_X'(0)=0.

Resposta

(a) \displaystyle M_X(t)=\frac{\lambda^2}{\lambda^2-t^2},\quad |t|<\lambda.
(b) \displaystyle \mathrm{E}(X)=0.

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