Exercício 6. Seja
uma variável aleatória com distribuição exponencial dupla de parâmetro
, cuja função de densidade é dada por:
(a) Obtenha a f.g.m.
(b) Obtenha
.
(b) Obtenha
Passo 1
O enunciado diz que
tem distribuição exponencial dupla (também chamada de Laplace) com parâmetro
, cuja densidade é
Pede-se
(a) a função geradora de momentos (f.g.m.)
(b) .
Para (a) vamos usar a definição
(a) a função geradora de momentos (f.g.m.)
(b)
Para (a) vamos usar a definição
e para (b) podemos usar simetria ou derivar
em
.
Passo 2
Calcular
Separamos em duas integrais, uma para
e outra para
:
Passo 3
Para
:
Para
fazemos a mudança
:
Somando:
com região de validade
.
Passo 4
Para
note que a densidade é simétrica em torno de zero, logo intuitivamente
.
Se quisermos por derivada da f.g.m.:
Se quisermos por derivada da f.g.m.:
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Resposta
(a)
(b)
(b)