Para a equação de diferenças abaixo, determine (a) o diagrama de blocos do sistema e (b) a Transformada de Fourier de \mathrm{Y}(\mathrm{ej} \omega) / \mathrm{X}(\mathrm{ej} \omega).
y[n]=x[n-1]-0.2 x[n-2]+0.5 y[n-1]+0.3 y[n-2]

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação de diferenças:
y[n]=x[n-1]-0.2\,x[n-2]+0.5\,y[n-1]+0.3\,y[n-2]
E pede duas coisas:
(a) o diagrama de blocos do sistema implementando essa equação;
(b) a Transformada de Fourier (resposta em frequência) \dfrac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Saída em função de entradas atrasadas e saídas passadas (sistema causal com realimentação).
  • Termos de entrada: x[n-1] com ganho +1 e x[n-2] com ganho -0{,}2.
  • Termos de realimentação (feedback): y[n-1] com ganho +0{,}5 e y[n-2] com ganho +0{,}3.
  • Não há termo direto com x[n] (coeficiente de x[n] é zero).

Passo 2

Primeiro reorganizar a equação para deixar todos os termos envolvendo y à esquerda — isso facilita escrever a função de transferência:
y[n]-0{,}5\,y[n-1]-0{,}3\,y[n-2]=x[n-1]-0{,}2\,x[n-2].
Esta forma mostra claramente o polinômio do denominador (os coeficientes que multiplicam as amostras passadas de y) e o polinômio do numerador (as amostras atrasadas de x).

Passo 3

Vou nomear os coeficientes do numerador (feedforward) e do denominador (feedback) para facilitar a montagem do diagrama.
  • Coeficientes do numerador em termos de atrasos em z^{-1}: b_0=0 (coef. de x[n]), b_1=1 (coef. de x[n-1]), b_2=-0{,}2 (coef. de x[n-2]).
  • Coeficientes do denominador (colocados na forma 1 - 0{,}5 z^{-1} - 0{,}3 z^{-2}): termo principal 1, e termos de realimentação -0{,}5 associado a y[n-1] e -0{,}3 associado a y[n-2].
Esses coeficientes são os números que aparecem nos blocos multiplicadores do diagrama.

Passo 4

Como desenhar o diagrama de blocos (descrição passo a passo, que corresponde a um “Direct Form I” simples):
  • Colocar uma cadeia de dois delays em série, cada delay representado por um bloco \text{z}^{-1}. A entrada x[n] entra nessa cadeia.
  • As três tensões/taps relevantes são:
    • Tap direto para x[n] (aqui o coeficiente é b_0=0, logo não contribui),
    • Tap depois do primeiro delay, que é x[n-1] (multiplicador com ganho b_1=1),
    • Tap depois do segundo delay, que é x[n-2] (multiplicador com ganho b_2=-0{,}2).
  • Esses dois sinais multiplicados são somados (somador feedforward) para formar a contribuição da entrada.
  • A saída do somador feedforward vai para um somador principal que soma também as contribuições de realimentação, produzindo y[n].
  • Para a realimentação: a saída y[n] é enviada para uma cadeia de dois \text{z}^{-1} em série (ou os mesmos delays físicos podem ser compartilhados dependendo da implementação), gerando y[n-1] e y[n-2].
    • y[n-1] passa por um multiplicador com ganho 0{,}5 e vai para o somador principal.
    • y[n-2] passa por um multiplicador com ganho 0{,}3 e vai para o somador principal.
  • O somador principal calcula \text{(contribuição de entrada)} + 0{,}5\,y[n-1] + 0{,}3\,y[n-2]çã e essa soma é y[n].
Resumo esquemático em ASCII (setas no sentido do fluxo; cada [z^{-1}] representa um delay de uma amostra):
x[n] -> [z^{-1}] -> node A (x[n-1]) -> [z^{-1}] -> node B (x[n-2])
| |
|–(×1)---------------| (feedforward taps)
|–(×-0,2)------------|
v v
(somador feedforward) —>(+)
^
| ^ (feedback)
| |
y[n] <---------------(*)–±- y[n-1] via one [z^{-1}] (×0,5)
|
±- y[n-2] via two [z^{-1}] (×0,3)
Onde (*) é o arranjo de delays que gera y[n-1] e y[n-2] e os multiplicadores com ganhos 0{,}5 e 0{,}3 alimentam o somador principal.
Observação prática: este desenho corresponde ao diagrama de blocos clássico “Direct Form I” com dois taps de feedforward e dois taps de feedback.

Passo 5

Agora vamos obter a Transformada de Fourier (DTFT) para achar \dfrac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}. Relembre a propriedade de deslocamento no tempo:
  • Se x[n-k] é uma versão atrasada de x[n], então sua DTFT é X(e^{j\omega})e^{-j\omega k}.
  • Mesma regra vale para y[n-k].
Aplicando DTFT em ambos os lados da equação reorganizada (passo 2):
Y(e^{j\omega})-0{,}5\,Y(e^{j\omega})e^{-j\omega}-0{,}3\,Y(e^{j\omega})e^{-j2\omega} = X(e^{j\omega})e^{-j\omega}-0{,}2\,X(e^{j\omega})e^{-j2\omega}.

Passo 6

Colocar Y(e^{j\omega}) em evidência no lado esquerdo e X(e^{j\omega}) no direito:
Y(e^{j\omega})\bigl(1-0{,}5e^{-j\omega}-0{,}3e^{-j2\omega}\bigr) = X(e^{j\omega})\bigl(e^{-j\omega}-0{,}2e^{-j2\omega}\bigr).
Logo a função de transferência (resposta em frequência) é
\boxed{ \; H(e^{j\omega})=\dfrac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})} = \dfrac{e^{-j\omega}-0{,}2\,e^{-j2\omega}}{\,1-0{,}5e^{-j\omega}-0{,}3e^{-j2\omega}\,}\; }.

Passo 7

Algumas formas alternativas úteis (mesma função, só reescrita):
  • Expressão em termos de z=e^{j\omega} (útil para análise de polos/zeros):
H(z)=\dfrac{z^{-1}-0{,}2\,z^{-2}}{1-0{,}5z^{-1}-0{,}3z^{-2}}.
Multiplicando numerador e denominador por z^{2} obtemos a forma racional em polinômios de z:
H(z)=\dfrac{z-0{,}2}{\,z^{2}-0{,}5z-0{,}3\,}.
  • Outra forma que mostra explicitamente um atraso comum:
H(z)=z^{-1}\,\dfrac{1-0{,}2z^{-1}}{1-0{,}5z^{-1}-0{,}3z^{-2}}.
Todas essas são equivalentes quando z=e^{j\omega}.

Resposta

(a) Diagrama de blocos: Direct Form I com duas linhas de atraso [z^{-1}]; taps feedforward em x[n-1] com ganho +1 e em x[n-2] com ganho -0{,}2; realimentação de y[n] com taps em y[n-1] (ganho +0{,}5) e em y[n-2] (ganho +0{,}3).\n
(b) \displaystyle H(e^{j\omega})=\dfrac{e^{-j\omega}-0{,}2\,e^{-j2\omega}}{1-0{,}5e^{-j\omega}-0{,}3e^{-j2\omega}}

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