Para a equação de diferenças abaixo, determine (a) o diagrama de blocos do sistema e (b) a Transformada de Fourier de
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação de diferenças:
E pede duas coisas:
(a) o diagrama de blocos do sistema implementando essa equação;
(b) a Transformada de Fourier (resposta em frequência) .
(a) o diagrama de blocos do sistema implementando essa equação;
(b) a Transformada de Fourier (resposta em frequência)
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Saída em função de entradas atrasadas e saídas passadas (sistema causal com realimentação).
- Termos de entrada:
com ganho e com ganho . - Termos de realimentação (feedback):
com ganho e com ganho . - Não há termo direto com
(coeficiente de é zero).
Passo 2
Primeiro reorganizar a equação para deixar todos os termos envolvendo
à esquerda — isso facilita escrever a função de transferência:
Esta forma mostra claramente o polinômio do denominador (os coeficientes que multiplicam as amostras passadas de
) e o polinômio do numerador (as amostras atrasadas de
).
Passo 3
Vou nomear os coeficientes do numerador (feedforward) e do denominador (feedback) para facilitar a montagem do diagrama.
- Coeficientes do numerador em termos de atrasos em
: (coef. de ), (coef. de ), (coef. de ). - Coeficientes do denominador (colocados na forma
): termo principal , e termos de realimentação associado a e associado a .
Esses coeficientes são os números que aparecem nos blocos multiplicadores do diagrama.
Passo 4
Como desenhar o diagrama de blocos (descrição passo a passo, que corresponde a um “Direct Form I” simples):
- Colocar uma cadeia de dois delays em série, cada delay representado por um bloco
. A entrada entra nessa cadeia. - As três tensões/taps relevantes são:
- Tap direto para
(aqui o coeficiente é , logo não contribui), - Tap depois do primeiro delay, que é
(multiplicador com ganho ), - Tap depois do segundo delay, que é
(multiplicador com ganho ).
- Tap direto para
- Esses dois sinais multiplicados são somados (somador feedforward) para formar a contribuição da entrada.
- A saída do somador feedforward vai para um somador principal que soma também as contribuições de realimentação, produzindo
. - Para a realimentação: a saída
é enviada para uma cadeia de dois em série (ou os mesmos delays físicos podem ser compartilhados dependendo da implementação), gerando e . -
passa por um multiplicador com ganho e vai para o somador principal. -
passa por um multiplicador com ganho e vai para o somador principal.
-
- O somador principal calcula
e essa soma é .
Resumo esquemático em ASCII (setas no sentido do fluxo; cada [z^{-1}] representa um delay de uma amostra):
x[n] -> [z^{-1}] -> node A (x[n-1]) -> [z^{-1}] -> node B (x[n-2])
| |
|–(×1)---------------| (feedforward taps)
|–(×-0,2)------------|
v v
(somador feedforward) —>(+)
^
| ^ (feedback)
| |
y[n] <---------------(*)–±- y[n-1] via one [z^{-1}] (×0,5)
|
±- y[n-2] via two [z^{-1}] (×0,3)
| |
|–(×1)---------------| (feedforward taps)
|–(×-0,2)------------|
v v
(somador feedforward) —>(+)
^
| ^ (feedback)
| |
y[n] <---------------(*)–±- y[n-1] via one [z^{-1}] (×0,5)
|
±- y[n-2] via two [z^{-1}] (×0,3)
Onde (*) é o arranjo de delays que gera
e
e os multiplicadores com ganhos
e
alimentam o somador principal.
Observação prática: este desenho corresponde ao diagrama de blocos clássico “Direct Form I” com dois taps de feedforward e dois taps de feedback.
Passo 5
Agora vamos obter a Transformada de Fourier (DTFT) para achar
. Relembre a propriedade de deslocamento no tempo:
- Se
é uma versão atrasada de , então sua DTFT é . - Mesma regra vale para
.
Aplicando DTFT em ambos os lados da equação reorganizada (passo 2):
Passo 6
Colocar
em evidência no lado esquerdo e
no direito:
Logo a função de transferência (resposta em frequência) é
Passo 7
Algumas formas alternativas úteis (mesma função, só reescrita):
- Expressão em termos de
(útil para análise de polos/zeros):
Multiplicando numerador e denominador por
obtemos a forma racional em polinômios de
:
- Outra forma que mostra explicitamente um atraso comum:
Todas essas são equivalentes quando
.
Resposta
(a) Diagrama de blocos: Direct Form I com duas linhas de atraso
; taps feedforward em
com ganho
e em
com ganho
; realimentação de
com taps em
(ganho
) e em
(ganho
).\n
(b)
(b)