Uma indústria de tintas fabrica um mixing de resinas como matéria prima. Uma delas é a resina fenólica. Há necessidade de um transporte de um tanque para um reator de produção da tinta, onde será inserido: resina, ligante, solvente, veículo, pigmentos, cargas e aditivos. No reator entrar uma vazão mássica segundo tabela:
Componente Fração mássica (%)
Resina fenólica 35%
Solvente 25%
Pigmentos/cargas 35%
Aditivos 5%
Deseja-se produzir (500 Kg / h) de tinta em uma única batelada.
A tabela 2 apresenta as massas específicas de cada um dos adjuvantes para fabricar a tinta:
Componente Densidade ( (kg / m^{3}) )
Resina fenólica 1100
Solvente 850
Pigmentos/cargas 2500
Aditivos 950
O tempo de residência típico da reação é de 15 minutos e deseja-se principalmente determinar volume do tanque, considerando um headspace de 20% do volume total.
Qual volume do tanque?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei os dados das tabelas fornecidas no enunciado.
  • Produção desejada: \dot{m}=500\\ \mathrm{kg/h}.
  • Produzir em uma única batelada (logo a massa presente no reator/tanque durante a reação é a massa associada ao tempo de residência).
  • Tempo de residência: t_{\mathrm{res}}=15\\ \mathrm{min}.
  • Headspace (espaço livre) desejado: 20\% do volume total do tanque.
  • Frações mássicas (peguei da tabela de composição):
    • Resina fenólica: w_1=35\% =0,35.
    • Solvente: w_2=25\% =0,25.
    • Pigmentos/cargas: w_3=35\% =0,35.
    • Aditivos: w_4=5\% =0,05.
  • Densidades dos componentes (peguei da tabela de densidades):
    • \rho_1=1100\\ \mathrm{kg/m^3} (resina fenólica).
    • \rho_2=850\\ \mathrm{kg/m^3} (solvente).
    • \rho_3=2500\\ \mathrm{kg/m^3} (pigmentos/cargas).
    • \rho_4=950\\ \mathrm{kg/m^3} (aditivos).
O que se pede: determinar o volume do tanque (volume total, ou seja, incluindo o headspace de 20\%) necessário para essa produção e tempo de residência.

Passo 2

Entendimento do cálculo e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Primeiro precisamos saber a densidade média da mistura \rho_{\text{mix}}. Como temos frações mássicas w_i e densidades \rho_i, a maneira correta de obter a densidade da mistura é usar o volume específico médio (soma dos volumes individuais por unidade de massa) e inverter:
    v_{\text{mix}}=\sum_{i} \frac{w_i}{\rho_i},
    onde v_{\text{mix}} é o volume por unidade de massa da mistura (em \mathrm{m^3/kg}). Então
    \rho_{\text{mix}}=\frac{1}{v_{\text{mix}}}=\frac{1}{\displaystyle\sum_{i}\frac{w_i}{\rho_i}}.
    Explicando variáveis:
    • w_i é a fração mássica do componente i (adimensional, soma das w_i é 1).
    • \rho_i é a densidade do componente i (em \mathrm{kg/m^3}).
    • \rho_{\text{mix}} é a densidade da mistura (em \mathrm{kg/m^3}).
  • Depois precisamos da massa que estará no tanque durante a reação: massa requerida m_{\text{tanque}} é a vazão mássica multiplicada pelo tempo de residência. Converter minutos para horas antes:
    t_{\mathrm{res}}=15\\ \mathrm{min}=\frac{15}{60}\\ \mathrm{h}=0,25\\ \mathrm{h}.
    Então
    m_{\text{tanque}}=\dot{m}\,t_{\mathrm{res}}.
  • Volume líquido necessário (sem contar headspace) é
    V_{\text{líq}}=\frac{m_{\text{tanque}}}{\rho_{\text{mix}}}.í
  • Como o tanque deve ter headspace de 20\%, o volume útil para líquido é 80\% do volume total do tanque. Logo volume total do tanque:
    V_{\text{tanque}}=\frac{V_{\text{líq}}}{1-0,20}=\frac{V_{\text{líq}}}{0,80}.íí

Passo 3

Calcular a densidade da mistura numericamente usando os w_i e \rho_i.
Calcular o volume específico:
v_{\text{mix}}=\frac{0,35}{1100}+\frac{0,25}{850}+\frac{0,35}{2500}+\frac{0,05}{950}.
Vamos calcular cada termo (mostrando passo a passo):
\frac{0,35}{1100}=0,0003181818\ldots
\frac{0,25}{850}=0,0002941176\ldots
\frac{0,35}{2500}=0,00014
\frac{0,05}{950}=0,0000526316\ldots
Somando:
v_{\text{mix}} \approx 0,0003181818+0,0002941176+0,00014+0,0000526316 = 0,0008049310\\ (\mathrm{m^3/kg}).
Agora a densidade da mistura:
\rho_{\text{mix}}=\frac{1}{v_{\text{mix}}}\approx\frac{1}{0,0008049310}\approx1242,0\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

Calcular a massa que precisa estar no tanque (massa em processo) usando a vazão e o tempo de residência.
Tempo convertido: já usamos t_{\mathrm{res}}=0,25\\ \mathrm{h}.
m_{\text{tanque}}=\dot{m}\,t_{\mathrm{res}}=500\\ \mathrm{kg/h}\times0,25\\ \mathrm{h}=125\\ \mathrm{kg}.
Isso significa que, para manter a produção equivalente a 500\\ \mathrm{kg/h} com tempo de residência 15\\ \mathrm{min}, é preciso ter 125\\ \mathrm{kg} de mistura no reator/tanque.

Passo 5

Converter essa massa em volume líquido usando a densidade da mistura:
V_{\text{líq}}=\frac{m_{\text{tanque}}}{\rho_{\text{mix}}}=\frac{125\\ \mathrm{kg}}{1242,0\\ \mathrm{kg/m^3}}\approx0,10061\\ \mathrm{m^3}.í
Em litros:
0,10061\\ \mathrm{m^3}=100,61\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Incluir o headspace de 20\%. O volume total do tanque deve satisfazer V_{\text{líq}}=0,8\,V_{\text{tanque}}í, então:
V_{\text{tanque}}=\frac{V_{\text{líq}}}{0,8}=\frac{0,10061\\ \mathrm{m^3}}{0,8}\approx0,12576\\ \mathrm{m^3}.í
Em litros:
0,12576\\ \mathrm{m^3}=125,76\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Arredondamentos práticos e observações rápidas (didática final).
  • Resultado com três algarismos significativos: V_{\text{tanque}}\approx0,126\\ \mathrm{m^3} (ou aproximadamente 126\\ \mathrm{L}).
  • Interpretação: esse é o volume total do tanque incluindo os 20\% de headspace; o volume de líquido dentro do tanque durante a reação será \approx100,6\\ \mathrm{L}.
  • Se for escolher um tanque comercial, escolha uma capacidade um pouco maior que 126\\ \mathrm{L} para folga operacional e instrumentação.

Resposta

V_{\text{tanque}} \approx 0,1258\\ \mathrm{m^3} \approx 125,8\\ \mathrm{L}

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