Um indutor é construído com uma bobina de 200 espiras, área de 0,005 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{e} comprimento de 0,1 \mathrm{~m}. O núcleo da bobina é de ar, cuja permeabilidade magnética é de \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}.
Calcule qual o valor da indutância desta bobina.
Se a corrente da bobina aumentar de 1 A para 10 A em 1 ms , qual será o valor da tensão (força contraeletromotriz) induzida?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a indutância de uma bobina de N=200 espiras, área da seção transversal A=0,005\\ \mathrm{m}^2, comprimento l=0,1\\ \mathrm{m} e núcleo de ar com permeabilidade \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}. Em seguida, quer a tensão induzida quando a corrente sobe de 1\\ \mathrm{A} para 10\\ \mathrm{A} em \Delta t=1\\ \mathrm{ms}. Vamos usar a fórmula da indutância de um solenoide e depois a lei de Faraday.

Passo 2

A indutância de um solenoide uniforme de núcleo de ar é dada por
L = \frac{\mu_0\,N^2\,A}{l}.

Passo 3

Substituindo os dados:
\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, N=200, A=0,005\\ \mathrm{m}^2, l=0,1\\ \mathrm{m}.
L = \frac{(4\pi\times10^{-7})\times(200)^2\times0,005}{0,1} = \frac{4\pi\times10^{-7}\times40\,000\times0,005}{0,1}.

Passo 4

Calculando numericamente:
4\pi\times10^{-7}\times40\,000 = 0{,}0502656\quad\Rightarrow\quad 0{,}0502656\times0{,}005 = 0{,}000251328\quad\Rightarrow\quad L = \frac{0{,}000251328}{0{,}1} = 0{,}00251328\\ \mathrm{H}.
Logo, L\approx2{,}51\\ \mathrm{mH}.

Passo 5

A tensão (f.c.e.m.) induzida numa indutância está dada por
v = -L\,\frac{\Delta I}{\Delta t}.
Aqui \Delta I = 10 - 1 = 9\\ \mathrm{A} e \Delta t = 1\\ \mathrm{ms} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Calculando o valor absoluto da tensão:
|v| = L\,\frac{\Delta I}{\Delta t} = 0{,}00251328\;\frac{9}{1\times10^{-3}} = 0{,}00251328\times9\,000 \approx22{,}62\\ \mathrm{V}.

Resposta

O valor da indutância é L\approx2{,}51\\ \mathrm{mH}.
A tensão induzida vale aproximadamente 22{,}6\\ \mathrm{V}.

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