Influência da Rugosidade: O que é a rugosidade relativa ( \epsilon / D )? Como a mudança do material da tubulação (ex: de PVC para Ferro Fundido oxidado) afeta a rugosidade absoluta ( \epsilon ) e, consequentemente, o fator de atrito (f) e a perda de carga \left(h_{f}\right) em escoamento turbulento totalmente desenvolvido?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Definir o que é a rugosidade relativa \epsilon/D.
  • Explicar como a mudança do material da tubulação (ex.: de PVC para ferro fundido oxidado) afeta a rugosidade absoluta \epsilon e, consequentemente, o fator de atrito f e a perda de carga h_{f} em escoamento turbulento totalmente desenvolvido.
Informações relevantes (que usarei como referência para os exemplos numéricos):
  • Precisamos conhecer a rugosidade absoluta típica dos materiais (valor \epsilon em metros) e o diâmetro interno D da tubulação para calcular a rugosidade relativa \epsilon/D.
  • Para relacionar \epsilon/D, número de Reynolds Re e o fator de atrito f usarei fórmulas clássicas para escoamento turbulento totalmente desenvolvido (Colebrook implícita e a aproximação explícita de Swamee–Jain).
  • Vou usar valores típicos de referência para a rugosidade absoluta encontrados em livros/tabelas de engenharia (vou indicar isso quando aparecerem os números).

Passo 2

O que é rugosidade absoluta \epsilon e rugosidade relativa \epsilon/D
  • A rugosidade absoluta \epsilon é uma medida física da aspereza da superfície da parede da tubulação. Tem unidades de comprimento (por ex., metros).
  • A rugosidade relativa é a razão entre a rugosidade absoluta e o diâmetro interno da tubulação:
\frac{\epsilon}{D}
onde \epsilon é a rugosidade absoluta (m) e D é o diâmetro interno da tubulação (m).
  • Intuição rápida: \epsilon/D é “quão grande” a aspereza é comparada ao diâmetro do tubo. Para um mesmo \epsilon, tubos menores têm rugosidade relativa maior.

Passo 3

Quando isso importa: regimes de escoamento e o número de Reynolds
  • O número de Reynolds mede relação entre efeitos inerciais e viscosos:
Re=\frac{V D}{\nu}
onde V é a velocidade média do fluido (m/s), D o diâmetro (m) e \nu a viscosidade cinemática (m²/s).
  • Escoamento turbulento normalmente ocorre para \,Re\gtrsim 4000. A influência da rugosidade é especialmente importante em escoamento turbulento.
  • Em escoamento turbulento totalmente desenvolvido, o fator de atrito f depende de Re e de \epsilon/D. Em regimes de “totalmente rugoso” (muito grandes Re ou rugosidade relativa dominante) f fica praticamente independente de Re e depende só de \epsilon/D.

Passo 4

Fator de atrito e perda de carga (fórmula que usamos na prova)
  • A perda de carga por atrito em escoamento em tubulação é dada pela equação de Darcy–Weisbach:
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}
onde h_{f} é a perda de carga (m), f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), L é o comprimento do trecho (m), D é o diâmetro (m), V é a velocidade média (m/s) e g é a aceleração da gravidade (m/s²).
  • Observação prática importante: para mesmo L, D e V, h_{f} é diretamente proporcional a f. Ou seja, se f dobra, h_{f} dobra.

Passo 5

Como calcular f em escoamento turbulento: Colebrook e uma fórmula explícita útil
  • A relação clássica é a equação de Colebrook–White (implícita):
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon/D}{3,7}+\frac{2,51}{Re\sqrt{f}}\right)
onde \epsilon/D e Re foram definidos antes. Esta equação exige solução iterativa para f.
  • Uma fórmula explícita (boa aproximação, muito usada em provas) é a de Swamee–Jain:
f=\frac{0,25}{\bigg[\log_{10}\!\Big(\dfrac{\epsilon/D}{3,7}+\dfrac{5,74}{Re^{0,9}}\Big)\bigg]^{2}}
Essa fórmula permite calcular f diretamente sem iteração e é adequada para engenharia e uso em provas.

Passo 6

Valores típicos de rugosidade absoluta \epsilon (referência prática)
  • Valores típicos (referência de tabelas técnicas / livros de Engenharia hidráulica):
    • PVC (liso): \epsilon\approx 0{,}0015\\ \text{mm}=1{,}5\times 10^{-6}\\ \text{m}.
    • Tubo de aço comercial: \epsilon\approx 0{,}045\\ \text{mm}=4{,}5\times 10^{-5}\\ \text{m}.
    • Ferro fundido novo: \epsilon\approx 0{,}26\\ \text{mm}=2{,}6\times 10^{-4}\\ \text{m}.
    • Ferro fundido oxidado / corroído (superfície rugosa): \epsilon\approx 1{,}5\\ \text{mm}=1{,}5\times 10^{-3}\\ \text{m}.
  • Obs.: esses são valores típicos de referência; em prova podem pedir usar tabelas dadas ou estes números. Sempre declare a fonte se a questão pedir.

Passo 7

Exemplo numérico passo-a-passo (compara PVC e ferro fundido oxidado)
  • Situação: escolha um caso prático de prova para ver o efeito quantitativo.
    • D=0{,}10\\ \text{m} (tubo de 100 mm de diâmetro)
    • Re=10^{5} (escoamento turbulento)
    • Rugosidades (da tabela do passo anterior): \epsilon_{\text{PVC}}=1{,}5\times 10^{-6}\\ \text{m} e \epsilon_{\text{Fe\\ oxidado}}=1{,}5\times 10^{-3}\\ \text{m}.
  • Calcule \epsilon/D:
    • Para PVC:
    \frac{\epsilon}{D}=\frac{1{,}5\times 10^{-6}}{0{,}10}=1{,}5\times 10^{-5}.
    • Para ferro fundido oxidado:
    \frac{\epsilon}{D}=\frac{1{,}5\times 10^{-3}}{0{,}10}=1{,}5\times 10^{-2}.
  • Use Swamee–Jain para calcular f. Primeiro calcule o termo \dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}: Re^{0{,}9}=10^{5\times 0{,}9}=10^{4{,}5}\approx 31622{,}7766,
\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx \frac{5{,}74}{31622{,}7766}\approx 1{,}8159\times 10^{-4}.
  • Agora os somatórios dentro do log10:
    • PVC:
    \frac{\epsilon/D}{3{,}7}=\frac{1{,}5\times 10^{-5}}{3{,}7}\approx 4{,}0541\times 10^{-6},
\text{soma}=4{,}0541\times 10^{-6}+1{,}8159\times 10^{-4}\approx 1{,}8564\times 10^{-4}.
\log_{10}(\text{soma})\approx \log_{10}(1{,}8564\times 10^{-4})\approx -3{,}7314.
f_{\text{PVC}}=\frac{0{,}25}{(-3{,}7314)^{2}}\approx 0{,}01795\approx 0{,}0180.
  • Ferro fundido oxidado:
\frac{\epsilon/D}{3{,}7}=\frac{1{,}5\times 10^{-2}}{3{,}7}\approx 4{,}0541\times 10^{-3},
\text{soma}=4{,}0541\times 10^{-3}+1{,}8159\times 10^{-4}\approx 4{,}2357\times 10^{-3},
\log_{10}(\text{soma})\approx \log_{10}(4{,}2357\times 10^{-3})\approx -2{,}3733,
f_{\text{Fe\\ oxidado}}=\frac{0{,}25}{(-2{,}3733)^{2}}\approx 0{,}0444.
  • Interpretação dos números:
    • O fator de atrito para ferro fundido oxidado é aproximadamente 0{,}0444, enquanto para PVC é cerca de 0{,}0180.
    • A razão entre os fatores: \dfrac{f_{\text{Fe\\ oxidado}}}{f_{\text{PVC}}}\approx 2{,}47. Assim, para o mesmo L, D e V, a perda de carga h_{f} no tubo oxidado seria aproximadamente 2{,}47 vezes maior do que no tubo de PVC.
  • Conclusão do exemplo: trocar PVC por ferro fundido oxidado (comumente muito mais rugoso) aumenta muito \epsilon, aumenta \epsilon/D, aumenta f e, portanto, aumenta \;h_{f} de forma proporcional.

Passo 8

Regime totalmente rugoso e dependência de Re
  • Em regimes “totalmente rugosos” (quando \dfrac{\epsilon/D}{3{,}7} domina sobre \dfrac{2{,}51}{Re\sqrt{f}}), o fator f torna-se praticamente independente de Re e depende apenas de \epsilon/D. A forma assintótica (da Colebrook / Nikuradse) é:
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}\right).
  • No nosso exemplo, o ferro fundido oxidado já está muito próximo desse regime (o termo da rugosidade domina o termo dependente de Re), enquanto o PVC está em um regime onde a rugosidade tem efeito muito pequeno e f depende mais de Re (fluxo “quase liso”).

Passo 9

Resumo prático (como fazer rápido na prova) e incentivo
  • Passos práticos para uma questão de prova:
    1. Calcule Re=\dfrac{V D}{\nu} para verificar que é turbulento.
    2. Obtenha \epsilon do material (tabela). Calcule \epsilon/D.
    3. Use Moody chart, ou Colebrook (iterativo), ou Swamee–Jain (explícito) para obter f.
    4. Calcule h_{f}=f\,(L/D)\,(V^{2}/2g). Lembre-se: h_{f} escala linearmente com f.
  • Dica de prova: se \epsilon/D for grande (ex.: \gtrsim 10^{-3} em tubos pequenos), verifique se está no regime totalmente rugoso — aí você pode usar a forma assintótica que simplifica os cálculos.
  • Você está indo bem! Na prova, faça esses passos com calma: determine Re, pegue \epsilon da tabela, calcule \epsilon/D e use Swamee–Jain se quiser resultado direto sem iterar.

Resposta

A rugosidade relativa é \dfrac{\epsilon}{D}, a razão entre a rugosidade absoluta da parede \epsilon (m) e o diâmetro interno D (m).\nA mudança de material (ex.: de PVC para ferro fundido oxidado) aumenta a rugosidade absoluta \epsilon; isso aumenta \epsilon/D, eleva o fator de atrito f no escoamento turbulento e, por consequência, aumenta a perda de carga h_{f} (já que h_{f}\propto f).\nExemplo numérico (para D=0{,}10\\ \text{m} e Re=10^{5}, usando valores típicos de referência): f_{\text{PVC}}\approx 0{,}0180, f_{\text{Fe\\ oxidado}}\approx 0{,}0444; portanto h_{f} no ferro oxidado seria cerca de 2{,}47 vezes maior que no PVC (mesmos L,D,V).

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